ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y = \sin x — 3$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right]$;

б) $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right]$;

в) $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right]$;

г) $y = 4 — 3 \cos x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]$

а) $y = \sin x — 3$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right]$;

$$3\pi — \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} > \frac{T}{2};$$ $$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-4 \leq \sin x — 3 \leq -2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = -2$.

б) $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right]$;

$$\frac{\pi}{3} — (-\pi) = \pi + \frac{\pi}{3} > \frac{T}{2};$$ $$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$-0,5 \leq \cos x + 0,5 \leq 1,5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -0,5$; $y_{\text{max}} = 1,5$.

в) $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right]$;

$$\frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} < \frac{T}{2};$$ $$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1;$$ $$-2 \leq -2 \sin x \leq -1;$$ $$-1 \leq -2 \sin x + 1 \leq 0;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 0$.

г) $y = 4 — 3 \cos x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]$;

$$\frac{7\pi}{6} — \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \pi + \frac{3\pi}{12} > \frac{T}{2};$$ $$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \cos x \leq 3;$$ $$7 \leq 4 — 3 \cos x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 7$.

а) $y = \sin x — 3$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \sin x — 3$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right]$.

1. Исследуем периодичность функции $\sin x$:

• Функция $\sin x$ периодична с периодом $2\pi$.
• Отрезок $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right]$ включает полный полупериод функции $\sin x$ с $\frac{\pi}{2}$ до $3\pi$.
• Таким образом, на этом отрезке значение функции $\sin x$ пройдет все значения от -1 до 1.

2. Определим значения $\sin x$ на краях отрезка:

• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.
• Когда $x = 3\pi$, то $\sin 3\pi = 0$.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции $\sin x — 3$:

• Функция $y = \sin x — 3$ будет иметь минимальное значение, когда $\sin x$ минимально, то есть $\sin x = -1$. Это значение $y = -1 — 3 = -4$.
• Функция $y = \sin x — 3$ будет иметь максимальное значение, когда $\sin x$ максимально, то есть $\sin x = 1$. Это значение $y = 1 — 3 = -2$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -4$
• $y_{\text{max}} = -2$

б) $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right]$.

1. Исследуем периодичность функции $\cos x$:

• Функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$.
• На отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right]$ функция $\cos x$ пройдет значения от -1 до 1.

2. Определим значения $\cos x$ на краях отрезка:

• Когда $x = -\pi$, то $\cos (-\pi) = -1$.
• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, то $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции $\cos x + 0,5$:

• Минимальное значение $\cos x + 0,5$ будет при $\cos x = -1$. Это значение $y = -1 + 0,5 = -0,5$.
• Максимальное значение $\cos x + 0,5$ будет при $\cos x = \frac{1}{2}$. Это значение $y = \frac{1}{2} + 0,5 = 1,5$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -0,5$
• $y_{\text{max}} = 1,5$

в) $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right]$.

1. Исследуем периодичность функции $\sin x$:

• Функция $\sin x$ периодична с периодом $2\pi$.
• На отрезке $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}\right]$ значение $\sin x$ будет изменяться от $\sin \frac{\pi}{3}$ до $\sin \frac{5\pi}{6}$.

2. Определим значения $\sin x$ на краях отрезка:

• Когда $x = \frac{\pi}{3}$, то $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.
• Когда $x = \frac{5\pi}{6}$, то $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции $y = -2 \sin x + 1$:

• Минимальное значение $-2 \sin x$ будет при $\sin x = 1$, но в данном случае $\sin x$ будет варьироваться от $\frac{1}{2}$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Когда $\sin x = \frac{1}{2}$, $y = -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$.
• Когда $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = -\sqrt{3} + 1 \approx -0.732$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -1$
• $y_{\text{max}} = 0$

г) $y = 4 — 3 \cos x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 4 — 3 \cos x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]$.

1. Исследуем периодичность функции $\cos x$:

• Функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$.
• На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}\right]$ значение $\cos x$ будет изменяться от -1 до 1.

2. Определим значения $\cos x$ на краях отрезка:

• Когда $x = -\frac{\pi}{4}$, то $\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$.
• Когда $x = \frac{7\pi}{6}$, то $\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866$.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции $y = 4 — 3 \cos x$:

• Минимальное значение $y = 4 — 3 \cos x$ будет при максимальном значении $\cos x = 1$, то есть $y = 4 — 3 \cdot 1 = 1$.
• Максимальное значение $y = 4 — 3 \cos x$ будет при минимальном значении $\cos x = -1$, то есть $y = 4 — 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 1$
• $y_{\text{max}} = 7$

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = -2$.

б) $y_{\text{min}} = -0,5$; $y_{\text{max}} = 1,5$.

в) $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 0$.

г) $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 7$.