ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = 2 ∣ x ∣ - 4$

б) $y = x^{2} - 5 ∣ x ∣ + 6$

в) $y = 3 ∣ x ∣ + 9$

г) $y = x^{2} - 6 ∣ x ∣ - 7$

Краткий ответ:

а) $y = 2 ∣ x ∣ - 4$

По определению модуля числа:

$y = {\begin{cases} 2 x - 4, & если x \geq 0 \\ - 2 x - 4, & если x < 0 \end{cases}$

Первая функция возрастает:

$y^{'} = (2 x - 4)^{'} = 2;$

Вторая функция убывает:

$y^{'} = (- 2 x - 4)^{'} = - 2;$

Наименьшее значение:

$y (0) = 2 \cdot 0 - 4 = - 4;$

Ответ: $y_{min} = - 4$ .

б) $y = x^{2} - 5 ∣ x ∣ + 6$

По определению модуля числа:

$y = {\begin{cases} x^{2} - 5 x + 6, & если x \geq 0 \\ x^{2} + 5 x + 6, & если x < 0 \end{cases}$

Первая функция:

$y^{'} = (x^{2})^{'} - (5 x - 6)^{'} = 2 x - 5;$

Промежуток возрастания:

$2 x - 5 \geq 0;$ $2 x \geq 5, отсюда x \geq \frac{5}{2};$

Вторая функция:

$y^{'} = (x^{2})^{'} + (5 x + 6)^{'} = 2 x + 5;$

Промежуток возрастания:

$2 x + 5 \geq 0;$ $2 x \geq - 5, отсюда x \geq - \frac{5}{2};$

Наименьшее значение:

$y (\pm \frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25 - 50 + 24}{4} = - \frac{1}{4};$

Ответ: $y_{min} = - 0.25$ .

в) $y = 3 ∣ x ∣ + 9$

По определению модуля числа:

$y = {\begin{cases} 3 x + 9, & если x \geq 0 \\ - 3 x + 9, & если x < 0 \end{cases}$

Первая функция возрастает:

$y^{'} = (3 x + 9)^{'} = 3;$

Вторая функция убывает:

$y^{'} = (- 3 x + 9)^{'} = - 3;$

Наименьшее значение:

$y (0) = 3 \cdot 0 + 9 = 9;$

Ответ: $y_{min} = 9$ .

г) $y = x^{2} - 6 ∣ x ∣ - 7$

По определению модуля числа:

$y = {\begin{cases} x^{2} - 6 x - 7, & если x \geq 0 \\ x^{2} + 6 x - 7, & если x < 0 \end{cases}$

Первая функция:

$y^{'} = (x^{2})^{'} - (6 x + 7)^{'} = 2 x - 6;$

Промежуток возрастания:

$2 x - 6 \geq 0;$ $2 x \geq 6, отсюда x \geq 3;$

Вторая функция:

$y^{'} = (x^{2})^{'} + (6 x - 7)^{'} = 2 x + 6;$

Промежуток возрастания:

$2 x + 6 \geq 0;$ $2 x \geq - 6, отсюда x \geq - 3;$

Наименьшее значение:

$y (\pm 3) = 9 - 6 \cdot 3 - 7 = 2 - 18 = - 16;$

Ответ: $y_{min} = - 16$ .

Подробный ответ:

а) $y = 2 ∣ x ∣ - 4$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y = 2 ∣ x ∣ - 4$ через кусочную функцию, где $∣ x ∣$ будет разбираться на два случая в зависимости от знака $x$ :

$y = {\begin{cases} 2 x - 4, & если x \geq 0 \\ - 2 x - 4, & если x < 0 \end{cases}$

Анализ первой функции для $x \geq 0$ :

Для $x \geq 0$ функция имеет вид $y = 2 x - 4$ . Теперь найдем производную этой функции:

$y^{'} = (2 x - 4)^{'} = 2$

Это означает, что производная постоянна и равна 2. Это говорит о том, что функция возрастает, так как производная положительна.

Анализ второй функции для $x < 0$ :

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = - 2 x - 4$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (- 2 x - 4)^{'} = - 2$

Это говорит о том, что функция убывает, так как производная отрицательна.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить $y (0)$ , так как $x = 0$ — это точка перегиба для функции.

$y (0) = 2 \cdot 0 - 4 = - 4$

Таким образом, наименьшее значение функции на всей области определения равно $y_{min} = - 4$ .

б) $y = x^{2} - 5 ∣ x ∣ + 6$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y = x^{2} - 5 ∣ x ∣ + 6$ через кусочную функцию, где $∣ x ∣$ будет разбираться на два случая:

$y = {\begin{cases} x^{2} - 5 x + 6, & если x \geq 0 \\ x^{2} + 5 x + 6, & если x < 0 \end{cases}$

Анализ первой функции для $x \geq 0$ :

Для $x \geq 0$ функция имеет вид $y = x^{2} - 5 x + 6$ . Теперь найдем производную этой функции:

$y^{'} = (x^{2})^{'} - (5 x - 6)^{'} = 2 x - 5$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{'} \geq 0$ :

$2 x - 5 \geq 0$ $2 x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{2}$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[\frac{5}{2}, \infty)$ .

Анализ второй функции для $x < 0$ :

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^{2} + 5 x + 6$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (x^{2})^{'} + (5 x + 6)^{'} = 2 x + 5$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{'} \geq 0$ :

$2 x + 5 \geq 0$ $2 x \geq - 5 \Rightarrow x \geq - \frac{5}{2}$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[- \frac{5}{2}, \infty)$ .

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить значение функции в точках, где производная равна нулю, то есть в точках $x = \pm \frac{5}{2}$ .

Рассчитаем $y (\pm \frac{5}{2})$ :

$y (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = - \frac{1}{4}$

Ответ: $y_{min} = - 0.25$ .

в) $y = 3 ∣ x ∣ + 9$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y = 3 ∣ x ∣ + 9$ через кусочную функцию:

$y = {\begin{cases} 3 x + 9, & если x \geq 0 \\ - 3 x + 9, & если x < 0 \end{cases}$

Анализ первой функции для $x \geq 0$ :

Для $x \geq 0$ функция имеет вид $y = 3 x + 9$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (3 x + 9)^{'} = 3$

Поскольку производная положительна, функция возрастает.

Анализ второй функции для $x < 0$ :

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = - 3 x + 9$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (- 3 x + 9)^{'} = - 3$

Поскольку производная отрицательна, функция убывает.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить $y (0)$ , так как $x = 0$ — это точка перегиба для функции:

$y (0) = 3 \cdot 0 + 9 = 9$

Таким образом, наименьшее значение функции на всей области определения равно $y_{min} = 9$ .

г) $y = x^{2} - 6 ∣ x ∣ - 7$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y = x^{2} - 6 ∣ x ∣ - 7$ через кусочную функцию:

$y = {\begin{cases} x^{2} - 6 x - 7, & если x \geq 0 \\ x^{2} + 6 x - 7, & если x < 0 \end{cases}$

Анализ первой функции для $x \geq 0$ :

Для $x \geq 0$ функция имеет вид $y = x^{2} - 6 x - 7$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (x^{2})^{'} - (6 x + 7)^{'} = 2 x - 6$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{'} \geq 0$ :

$2 x - 6 \geq 0$ $2 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 3$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[3, \infty)$ .

Анализ второй функции для $x < 0$ :

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^{2} + 6 x - 7$ . Найдем производную этой функции:

$y^{'} = (x^{2})^{'} + (6 x - 7)^{'} = 2 x + 6$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{'} \geq 0$ :

$2 x + 6 \geq 0$ $2 x \geq - 6 \Rightarrow x \geq - 3$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[- 3, \infty)$ .

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить значение функции в точках, где производная равна нулю, то есть в точках $x = \pm 3$ .

Рассчитаем $y (\pm 3)$ :

$y (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = - 16$ $y (- 3) = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) - 7 = 9 - 18 - 7 = - 16$

Ответ: $y_{min} = - 16$ .

Оцени решение