ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}2x-4,& \text{если }x\ge 0\\ -2x-4,& \text{если }x<0\end{array}$$

Первая функция возрастает:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(2x-4{)}^{\mathrm{\prime }}=2;$$

Вторая функция убывает:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-2x-4{)}^{\mathrm{\prime }}=-2;$$

Наименьшее значение:

$$y(0)=2\cdot 0-4=-4;$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-4$.

б) $y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-5x+6,& \text{если }x\ge 0\\ x^2+5x+6,& \text{если }x<0\end{array}$$

Первая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5x-6{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-5;$$

Промежуток возрастания:

$$2x-5\ge 0;$$$$2x\ge 5,\text{отсюда }x\ge \frac{5}{2};$$

Вторая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(5x+6{)}^{\mathrm{\prime }}=2x+5;$$

Промежуток возрастания:

$$2x+5\ge 0;$$$$2x\ge -5,\text{отсюда }x\ge -\frac{5}{2};$$

Наименьшее значение:

$$y(\pm \frac{5}{2})=\frac{25}{4}-5\cdot \frac{5}{2}+6=\frac{25-50+24}{4}=-\frac{1}{4};$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-0.25$.

в) $y=3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+9$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}3x+9,& \text{если }x\ge 0\\ -3x+9,& \text{если }x<0\end{array}$$

Первая функция возрастает:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(3x+9{)}^{\mathrm{\prime }}=3;$$

Вторая функция убывает:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-3x+9{)}^{\mathrm{\prime }}=-3;$$

Наименьшее значение:

$$y(0)=3\cdot 0+9=9;$$

Ответ: $y_{\text{min}}=9$.

г) $y=x^2-6\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-7$

По определению модуля числа:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x-7,& \text{если }x\ge 0\\ x^2+6x-7,& \text{если }x<0\end{array}$$

Первая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(6x+7{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-6;$$

Промежуток возрастания:

$$2x-6\ge 0;$$$$2x\ge 6,\text{отсюда }x\ge 3;$$

Вторая функция:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(6x-7{)}^{\mathrm{\prime }}=2x+6;$$

Промежуток возрастания:

$$2x+6\ge 0;$$$$2x\ge -6,\text{отсюда }x\ge -3;$$

Наименьшее значение:

$$y(\pm 3)=9-6\cdot 3-7=2-18=-16;$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-16$.

а) $y=2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y=2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4$ через кусочную функцию, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ будет разбираться на два случая в зависимости от знака $x$:

$$y=\{\begin{array}{ll}2x-4,& \text{если }x\ge 0\\ -2x-4,& \text{если }x<0\end{array}$$

Анализ первой функции для $x\ge 0$:

Для $x\ge 0$ функция имеет вид $y=2x-4$. Теперь найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(2x-4{)}^{\mathrm{\prime }}=2$$

Это означает, что производная постоянна и равна 2. Это говорит о том, что функция возрастает, так как производная положительна.

Анализ второй функции для $x<0$:

Для $x<0$ функция имеет вид $y=-2x-4$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-2x-4{)}^{\mathrm{\prime }}=-2$$

Это говорит о том, что функция убывает, так как производная отрицательна.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить $y(0)$, так как $x=0$ — это точка перегиба для функции.

$$y(0)=2\cdot 0-4=-4$$

Таким образом, наименьшее значение функции на всей области определения равно $y_{\text{min}}=-4$.

б) $y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6$ через кусочную функцию, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ будет разбираться на два случая:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-5x+6,& \text{если }x\ge 0\\ x^2+5x+6,& \text{если }x<0\end{array}$$

Анализ первой функции для $x\ge 0$:

Для $x\ge 0$ функция имеет вид $y=x^2-5x+6$. Теперь найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5x-6{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-5$$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$:

$$2x-5\ge 0$$$$2x\ge 5\Rightarrow x\ge \frac{5}{2}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[\frac{5}{2},\mathrm{\infty })$.

Анализ второй функции для $x<0$:

Для $x<0$ функция имеет вид $y=x^2+5x+6$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(5x+6{)}^{\mathrm{\prime }}=2x+5$$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$:

$$2x+5\ge 0$$$$2x\ge -5\Rightarrow x\ge -\frac{5}{2}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-\frac{5}{2},\mathrm{\infty })$.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить значение функции в точках, где производная равна нулю, то есть в точках $x=\pm \frac{5}{2}$.

Рассчитаем $y(\pm \frac{5}{2})$:

$$y\left(\frac{5}{2}\right)={\left(\frac{5}{2}\right)}^2-5\cdot \frac{5}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+\frac{24}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-0.25$.

в) $y=3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+9$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y=3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+9$ через кусочную функцию:

$$y=\{\begin{array}{ll}3x+9,& \text{если }x\ge 0\\ -3x+9,& \text{если }x<0\end{array}$$

Анализ первой функции для $x\ge 0$:

Для $x\ge 0$ функция имеет вид $y=3x+9$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(3x+9{)}^{\mathrm{\prime }}=3$$

Поскольку производная положительна, функция возрастает.

Анализ второй функции для $x<0$:

Для $x<0$ функция имеет вид $y=-3x+9$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-3x+9{)}^{\mathrm{\prime }}=-3$$

Поскольку производная отрицательна, функция убывает.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить $y(0)$, так как $x=0$ — это точка перегиба для функции:

$$y(0)=3\cdot 0+9=9$$

Таким образом, наименьшее значение функции на всей области определения равно $y_{\text{min}}=9$.

г) $y=x^2-6\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-7$

Определение функции по определению модуля числа:

Мы должны выразить функцию $y=x^2-6\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-7$ через кусочную функцию:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x-7,& \text{если }x\ge 0\\ x^2+6x-7,& \text{если }x<0\end{array}$$

Анализ первой функции для $x\ge 0$:

Для $x\ge 0$ функция имеет вид $y=x^2-6x-7$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(6x+7{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-6$$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$:

$$2x-6\ge 0$$$$2x\ge 6\Rightarrow x\ge 3$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[3,\mathrm{\infty })$.

Анализ второй функции для $x<0$:

Для $x<0$ функция имеет вид $y=x^2+6x-7$. Найдем производную этой функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(6x-7{)}^{\mathrm{\prime }}=2x+6$$

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$:

$$2x+6\ge 0$$$$2x\ge -6\Rightarrow x\ge -3$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-3,\mathrm{\infty })$.

Нахождение наименьшего значения:

Для нахождения наименьшего значения функции нужно вычислить значение функции в точках, где производная равна нулю, то есть в точках $x=\pm 3$.

Рассчитаем $y(\pm 3)$:

$$y(3)=3^2-6\cdot 3-7=9-18-7=-16$$$$y(-3)=(-3{)}^2+6\cdot (-3)-7=9-18-7=-16$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-16$.