ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

a) $y=x\sqrt{x+2}$

б) $y=x\sqrt{1-2x}$

a) $y=x\sqrt{x+2}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x{)}^{\mathrm{\prime }}\sqrt{x+2}+x(\sqrt{x+2}{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\ge 0$$$$3x+4\ge 0$$$$3x\ge -4,\text{ отсюда }x\ge -\frac{4}{3}$$

Область определения:

$$x+2\ge 0,\text{ отсюда }x\ge -2$$

Значения функции:

$$y_{\text{min}}=y(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}+2}=-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=-\frac{4\sqrt{6}}{9}$$$$y_{\text{max}}\text{ не существует}$$

Ответ: $y\in [-\frac{4\sqrt{6}}{9};+\mathrm{\infty })$.

б) $y=x\sqrt{1-2x}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x{)}^{\mathrm{\prime }}\sqrt{1-2x}+x(\sqrt{1-2x}{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{1-2x}-\frac{2x}{2\sqrt{1-2x}}=\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\ge 0$$$$1-3x\ge 0$$$$1\ge 3x,\text{ отсюда }x\le \frac{1}{3}$$

Область определения:

$$1-2x\ge 0$$$$1\ge 2x,\text{ отсюда }x\le \frac{1}{2}$$

Значения функции:

$$y_{\text{max}}=y\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1-2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$$$y_{\text{min}}\text{ не существует}$$

Ответ: $y\in (-\mathrm{\infty };\frac{\sqrt{3}}{9}]$.

а) $y=x\sqrt{x+2}$

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y=x\sqrt{x+2}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций. Пусть:

$$f(x)=x\text{и}g(x)=\sqrt{x+2}\mathrm{.}$$

Тогда, по правилу произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)+f(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

Теперь найдем производные $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ и $g^{\mathrm{\prime }}(x)$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1,g(x)=\sqrt{x+2}\text{и}{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$$

$$\text{(по правилу дифференцирования корня)}\mathrm{.}$$

Подставляем эти значения в формулу:

$$y^{\mathrm{\prime }}=1\cdot \sqrt{x+2}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}\mathrm{.}$$

Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, у нас будет:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{2(x+2)}{2\sqrt{x+2}}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\mathrm{.}$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции, нужно определить, для каких значений $x$ производная $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$. То есть решим неравенство:

$$\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\ge 0.$$

Так как знаменатель $2\sqrt{x+2}$ всегда положителен для всех $x\ge -2$ (область определения функции), то знак производной зависит только от числителя:

$$3x+4\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$3x\ge -4\Rightarrow x\ge -\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке:

$$x\ge -\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Область определения:

Чтобы определить область определения функции, нужно, чтобы выражение под радикалом в $\sqrt{x+2}$ было неотрицательным, то есть:

$$x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2.$$

Таким образом, область определения функции:

$$x\ge -2.$$

Значения функции:

Для нахождения значений функции, рассмотрим минимальное значение функции на границе области определения. Минимальное значение может быть при $x=-\frac{4}{3}$, так как на этом значении производная меняет знак с отрицательного на положительный (функция возрастает с этого значения).

Подставим $x=-\frac{4}{3}$ в исходную функцию:

$$y(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}+2}=-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=-\frac{4\sqrt{6}}{9}\mathrm{.}$$

Значения функции стремятся к бесконечности при $x\to \mathrm{\infty }$, поэтому максимального значения не существует.

Ответ:

$$y\in [-\frac{4\sqrt{6}}{9};+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) $y=x\sqrt{1-2x}$

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y=x\sqrt{1-2x}$ также применим правило дифференцирования произведения. Пусть:

$$f(x)=x\text{и}g(x)=\sqrt{1-2x}\mathrm{.}$$

Тогда, по правилу произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)+f(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

Найдем производные $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ и $g^{\mathrm{\prime }}(x)$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1,g(x)=\sqrt{1-2x}\text{и}{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2}{2\sqrt{1-2x}}=\frac{-1}{\sqrt{1-2x}}\mathrm{.}$$

Подставляем эти значения в формулу:

$$y^{\mathrm{\prime }}=1\cdot \sqrt{1-2x}+x\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-2x}}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{1-2x}-\frac{x}{\sqrt{1-2x}}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\mathrm{.}$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции, решим неравенство $y^{\mathrm{\prime }}\ge 0$:

$$\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\ge 0.$$

Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ всегда положителен при $x\le \frac{1}{2}$, так что знак производной зависит от числителя:

$$1-3x\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$1\ge 3x\Rightarrow x\le \frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке:

$$x\le \frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Область определения:

Для определения области определения функции необходимо, чтобы выражение под радикалом $1-2x$ было неотрицательным:

$$1-2x\ge 0\Rightarrow x\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, область определения функции:

$$x\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Значения функции:

Для нахождения максимального значения функции подставим $x=\frac{1}{3}$ в исходную функцию:

$$y\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1-2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{9}\mathrm{.}$$

Минимальное значение функции не существует, так как $y\to -\mathrm{\infty }$ при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Ответ:

$$y\in (-\mathrm{\infty };\frac{\sqrt{3}}{9}]\mathrm{.}$$