ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции: $y=\frac{-2x^2-2x-38}{x^2+6x+34}$

$y = \frac{-2x^2 — 2x — 38}{x^2 + 6x + 34};$

Пусть $u = -2x^2 — 2x — 38$, тогда:
$u’_x = -2(x^2)’ — (2x + 38)’ = -2 \cdot 2x — 2 = -4x — 2;$

Пусть $t = x^2 + 6x + 34$, тогда:
$t’_x = (x^2)’ + (6x + 34)’ = 2x + 6;$

Производная функции:
$u’_x t = (-4x — 2)(x^2 + 6x + 34) = -4x^3 — 24x^2 — 136x — 2x^2 — 12x — 68 =$
$= -4x^3 — 26x^2 — 148x — 68;$
$ut’_x = (-2x^2 — 2x — 38)(2x + 6) = -4x^3 — 12x^2 — 4x^2 — 12x — 76x — 228 =$
$= -4x^3 — 16x^2 — 88x — 228;$
$y’ = \frac{u’_x \cdot t — u \cdot t’_x}{t^2} = \frac{-4x^3 — 26x^2 — 148x — 68 — (-4x^3 — 16x^2 — 88x — 228)}{(x^2 + 6x + 34)^2} =$
$= \frac{-10x^2 — 60x + 160}{(x^2 + 6x + 34)^2} = 0;$

Промежуток возрастания:
$-10x^2 — 60x + 160 = 0;$
$x^2 + 6x — 16 = 0;$
$D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -3 \text{ и } x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2;$
$-10(x + 8)(x — 2) \geq 0;$
$-8 \leq x \leq 2;$

Область определения:
$x^2 + 6x + 34 \neq 0;$
$D = 6^2 — 4 \cdot 34 = 36 — 136 = -100;$
$D < 0, \text{значит } x \in \mathbb{R};$

Горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2 — 2x — 38}{x^2 + 6x + 34} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2 — \frac{2}{x} — \frac{38}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{34}{x^2}} = \frac{-2 — 0 — 0}{1 + 0 + 0} = -2;$

Значения функции:
$y(-8) = \frac{-2 \cdot 64 + 2 \cdot 8 — 38}{64 — 6 \cdot 8 + 34} = \frac{-128 + 16 — 38}{64 — 48 + 34} = \frac{-150}{50} = -3;$
$y(2) = \frac{-2 \cdot 4 — 2 \cdot 2 — 38}{4 + 6 \cdot 2 + 34} = \frac{-8 — 4 — 38}{4 + 12 + 34} = \frac{-50}{50} = -1;$

Ответ: $[-3; -1]$.

Рассмотрим функцию:

$$y = \frac{-2x^2 — 2x — 38}{x^2 + 6x + 34}$$

Нам нужно найти производную функции, область определения, промежутки возрастания, горизонтальную асимптоту и значения функции в некоторых точках. Для этого последовательно решим все этапы.

1) Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции $y = \frac{u(x)}{t(x)}$, где $u(x) = -2x^2 — 2x — 38$ и $t(x) = x^2 + 6x + 34$, воспользуемся правилом дифференцирования дроби (правило частного). Производная дроби $\frac{u(x)}{t(x)}$ вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{u'(x) \cdot t(x) — u(x) \cdot t'(x)}{(t(x))^2}$$

1.1) Производная числителя $u(x)$

Пусть $u(x) = -2x^2 — 2x — 38$. Найдем его производную:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2) + \frac{d}{dx}(-2x) + \frac{d}{dx}(-38)$$ $$u'(x) = -4x — 2$$

1.2) Производная знаменателя $t(x)$

Пусть $t(x) = x^2 + 6x + 34$. Найдем его производную:

$$t'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(34)$$ $$t'(x) = 2x + 6$$

1.3) Применение формулы производной дроби

Теперь применим формулу для нахождения производной функции:

$$y’ = \frac{(-4x — 2)(x^2 + 6x + 34) — (-2x^2 — 2x — 38)(2x + 6)}{(x^2 + 6x + 34)^2}$$

Теперь раскроем скобки в числителе.

Для первого множителя $(-4x — 2)(x^2 + 6x + 34)$:

$$(-4x — 2)(x^2 + 6x + 34) = -4x(x^2 + 6x + 34) — 2(x^2 + 6x + 34)$$ $$= -4x^3 — 24x^2 — 136x — 2x^2 — 12x — 68$$ $$= -4x^3 — 26x^2 — 148x — 68$$

Для второго множителя $(-2x^2 — 2x — 38)(2x + 6)$:

$$(-2x^2 — 2x — 38)(2x + 6) = -2x^2(2x + 6) — 2x(2x + 6) — 38(2x + 6)$$ $$= -4x^3 — 12x^2 — 4x^2 — 12x — 76x — 228$$ $$= -4x^3 — 16x^2 — 88x — 228$$

Теперь вычитаем второй результат из первого:

$$y’ = \frac{(-4x^3 — 26x^2 — 148x — 68) — (-4x^3 — 16x^2 — 88x — 228)}{(x^2 + 6x + 34)^2}$$ $$= \frac{-4x^3 — 26x^2 — 148x — 68 + 4x^3 + 16x^2 + 88x + 228}{(x^2 + 6x + 34)^2}$$ $$= \frac{-10x^2 — 60x + 160}{(x^2 + 6x + 34)^2}$$

Таким образом, производная функции:

$$y’ = \frac{-10x^2 — 60x + 160}{(x^2 + 6x + 34)^2}$$

2) Промежуток возрастания

Для нахождения промежутка возрастания, нужно найти, при каких $x$ производная $y’ \geq 0$. Для этого решим неравенство числителя:

$$-10x^2 — 60x + 160 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$10x^2 + 60x — 160 \leq 0$$ $$x^2 + 6x — 16 \leq 0$$

Решаем квадратное неравенство $x^2 + 6x — 16 \leq 0$ с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$$

Таким образом, $x^2 + 6x — 16 = 0$ имеет корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Теперь анализируем знак выражения $10(x + 8)(x — 2)$. Получаем промежуток:

$$-8 \leq x \leq 2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-8; 2]$.

3) Область определения

Функция $y = \frac{-2x^2 — 2x — 38}{x^2 + 6x + 34}$ определена для всех значений $x$, для которых знаменатель $t(x) = x^2 + 6x + 34$ не равен нулю. Рассмотрим дискриминант квадратного выражения $t(x) = x^2 + 6x + 34$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 — 136 = -100$$

Так как дискриминант меньше нуля, у уравнения нет действительных корней, и знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, область определения функции:

$$x \in \mathbb{R}$$

4) Горизонтальная асимптота

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно вычислить предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2 — 2x — 38}{x^2 + 6x + 34}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2 — \frac{2}{x} — \frac{38}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{34}{x^2}}$$

При $x \to \infty$ все дроби с $x$ в знаменателе стремятся к нулю, и получаем:

$$\frac{-2}{1} = -2$$

Таким образом, горизонтальная асимптота функции $y = -2$.

5) Значения функции

Найдем значения функции в точках $x = -8$ и $x = 2$.

• При $x = -8$:

$$y(-8) = \frac{-2(-8)^2 — 2(-8) — 38}{(-8)^2 + 6(-8) + 34}$$ $$y(-8) = \frac{-2 \cdot 64 + 16 — 38}{64 — 48 + 34} = \frac{-128 + 16 — 38}{64 — 48 + 34} = \frac{-150}{50} = -3$$

• При $x = 2$:

$$y(2) = \frac{-2(2)^2 — 2(2) — 38}{(2)^2 + 6(2) + 34}$$ $$y(2) = \frac{-2 \cdot 4 — 4 — 38}{4 + 12 + 34} = \frac{-8 — 4 — 38}{4 + 12 + 34} = \frac{-50}{50} = -1$$

Таким образом, значения функции:

$$y(-8) = -3, \quad y(2) = -1$$

Ответ:

Значения функции на промежутке $[-8; 2]$ лежат в интервале:

$$[-3; -1]$$