ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Отобразим условие задачи:

Дано: $ABCD$ — трапеция; $AB = BC = CD = 15 \, \text{см}$;

Найти: $AD$;

Решение:

Опустим высоты $BH$ и $CP$ данной трапеции;

Так как трапеция равнобокая, то $\angle BAH = \angle CDP = x$, тогда:

$$CP = BH = AB \cdot \sin x = 15 \sin x;$$ $$PD = AH = AB \cdot \cos x = 15 \cos x;$$

Четырехугольник $HBCD$ является прямоугольником, значит:

$$HP = BC = 15 \, \text{см};$$ $$AD = AH + HP + PD = 15 \cos x + 15 + 15 \cos x = 30 \cos x + 15;$$

Площадь трапеции:

$$S(x) = \frac{1}{2} BH \cdot (AD + BC) = \frac{1}{2} \cdot 15 \sin x \cdot (30 \cos x + 15 + 15);$$ $$S(x) = \frac{1}{2} \cdot 15 \sin x \cdot 30 (\cos x + 1) = 225 \sin x \cdot (\cos x + 1);$$ $$S(x) = 225 \cdot (\sin x \cdot \cos x + \sin x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2x + \sin x \right);$$

Производная функции:

$$S'(x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} (\sin 2x)’ + (\sin x)’ \right);$$ $$S'(x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x + \cos x \right) = 225 \cdot (\cos 2x + \cos x);$$

Стационарные точки:

$$S'(x) = 225 \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x + \cos x) = 225 \cdot (2 \cos^2 x + \cos x — 1);$$ $$225 \cdot (2 \cos^2 x + \cos x — 1) = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pm \arccos(-1) + 2\pi n = \pm \pi + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

На промежутке $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ имеем одно решение:

$$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{— точка максимума;}$$ $$AD = 30 \cos \frac{\pi}{3} + 15 = 30 \cdot \frac{1}{2} + 15 = 15 + 15 = 30 \, \text{см};$$

Ответ: $30 \, \text{см}$.

Дано: $ABCD$ — трапеция, где боковые стороны и одно из оснований равны $15$ см ($AB = BC = CD = 15 \, \text{см}$).

Найти длину второго основания $AD$, при которой площадь трапеции будет наибольшей.

Решение:

1. Опустим высоты из вершин $B$ и $C$ на основания трапеции:

Опустим перпендикуляры $BH$ и $CP$ на основания $AD$ и $BC$ соответственно. Это сделает наш расчет удобным, так как высоты будут равны, а саму трапецию можно будет рассматривать как прямоугольный четырёхугольник.

2. Связь между элементами трапеции:

Так как трапеция равнобокая ($AB = BC = CD = 15$ см), то угол при основании $AB$ равен углу при основании $CD$:

$$\angle BAH = \angle CDP = x.$$

Из этого мы получаем важные соотношения для высот и отрезков.

• Высота $BH$ из вершины $B$ в трапеции $ABCD$ равна:

$$BH = AB \cdot \sin x = 15 \sin x.$$

• Высота $CP$ из вершины $C$ также будет равна:

$$CP = CD \cdot \sin x = 15 \sin x.$$

• Отрезок $AH$ равен:

$$AH = AB \cdot \cos x = 15 \cos x.$$

• Отрезок $PD$ равен:

$$PD = CD \cdot \cos x = 15 \cos x.$$

3. Выражение для длины основания $AD$:

Длина основания $AD$ является суммой трёх отрезков:

$$AD = AH + HP + PD.$$

• Отрезок $HP$ равен боковой стороне $BC$, то есть:

$$HP = BC = 15 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина основания $AD$ равна:

$$AD = AH + HP + PD = 15 \cos x + 15 + 15 \cos x = 30 \cos x + 15.$$

4. Площадь трапеции:

Площадь трапеции $S$ можно выразить через её основания и высоту. Из формулы для площади трапеции:

$$S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AD + BC),$$

где $h$ — высота трапеции, а $AD$ и $BC$ — основания трапеции. Подставляем известные выражения:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot (AD + BC).$$

• $BH = 15 \sin x$,
• $AD = 30 \cos x + 15$,
• $BC = 15$.

Тогда площадь:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot 15 \sin x \cdot (30 \cos x + 15 + 15) = \frac{1}{2} \cdot 15 \sin x \cdot (30 \cos x + 30).$$

Упростим выражение для площади:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot 15 \sin x \cdot 30 (\cos x + 1) = 225 \sin x \cdot (\cos x + 1).$$

Далее:

$$S(x) = 225 \cdot (\sin x \cdot \cos x + \sin x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2x + \sin x \right).$$

5. Производная функции площади:

Теперь, чтобы найти точку максимума площади, вычислим производную $S'(x)$:

$$S'(x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} (\sin 2x)’ + (\sin x)’ \right).$$

Используем производные:

• $(\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$,
• $(\sin x)’ = \cos x$.

Подставляем в производную:

$$S'(x) = 225 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x + \cos x \right) = 225 \cdot (\cos 2x + \cos x).$$

6. Нахождение стационарных точек:

Теперь найдём стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$$S'(x) = 225 \cdot (\cos 2x + \cos x) = 0.$$

Это выражение можно переписать как:

$$\cos 2x + \cos x = 0.$$

Используем формулу для $\cos 2x$ через $\cos x$:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1.$$

Тогда уравнение становится:

$$2 \cos^2 x — 1 + \cos x = 0.$$

Это квадратное уравнение:

$$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0.$$

Решаем его через дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}.$$

7. Значения $x$:

1. $\cos x = -1$, тогда $x = \pm \pi + 2\pi n$, но это значение не подходит для нашего интервала, так как оно выходит за пределы $[0; \frac{\pi}{2}]$.
2. $\cos x = \frac{1}{2}$, тогда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

8. Максимум на интервале $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Для интервала $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ единственное решение — это $x = \frac{\pi}{3}$.

9. Вычисление длины основания $AD$:

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для $AD$:

$$AD = 30 \cos \frac{\pi}{3} + 15 = 30 \cdot \frac{1}{2} + 15 = 15 + 15 = 30 \, \text{см}.$$

Ответ:

Длина второго основания $AD$ при максимальной площади трапеции равна $30 \, \text{см}$.