ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна $r$. При какой высоте пирамиды её объём будет наибольшим?

Апофемы противолежащих граней правильной пирамиды образуют равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды, а высота равна высоте пирамиды;

Пусть $a$ — сторона основания и $h$ — высота пирамиды, тогда:
$a = 2\sqrt{p^2 — h^2};$
$V(h) = \frac{1}{3} \cdot a^3 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4(p^2 — h^2) \cdot h = \frac{4}{3}(p^2h — h^3);$

Производная функции:
$V'(h) = \frac{4}{3}(p^2(h)’ — (h^3)’) = \frac{4}{3}(p^2 — 3h^2);$

Промежуток возрастания:
$\frac{4}{3}(p^2 — 3h^2) \geq 0;$
$p^2 — 3h^2 \geq 0;$
$p^2 \geq 3h^2, \text{ отсюда } h \leq \sqrt{\frac{p^2}{3}};$

Точка максимума:
$h = \sqrt{\frac{p^2}{3}} = \frac{p}{\sqrt{3}} = \frac{p\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $\boxed{\frac{p\sqrt{3}}{3}}$.

Дано:

• Апофемы противолежащих граней правильной пирамиды образуют равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды, а высота равна высоте пирамиды.
• Пусть $p$ — апофема пирамиды, $a$ — сторона основания и $h$ — высота пирамиды.

1. Выражение для стороны основания $a$

Сначала из условия задачи, что апофемы противолежащих граней образуют равнобедренный треугольник, получаем следующее:

• Основание треугольника равно стороне основания пирамиды $a$.
• Высота этого треугольника равна высоте пирамиды $h$.
• Апофема пирамиды $p$ является боковой стороной этого равнобедренного треугольника.

По теореме Пифагора для половины основания (половина стороны основания равна $\frac{a}{2}$), апофемы и высоты получаем:

$$p^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2.$$

Отсюда можно выразить сторону основания $a$ через апофему $p$ и высоту $h$:

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = p^2 — h^2,$$ $$\frac{a^2}{4} = p^2 — h^2,$$ $$a^2 = 4(p^2 — h^2),$$ $$a = 2\sqrt{p^2 — h^2}.$$

2. Формула объёма пирамиды $V(h)$

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h,$$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды. В случае правильной четырёхугольной пирамиды основание является квадратом со стороной $a$, и его площадь:

$$S_{\text{осн}} = a^2.$$

Таким образом, объём пирамиды можно выразить как:

$$V(h) = \frac{1}{3} a^2 h.$$

Подставим выражение для $a^2$ из предыдущего пункта:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot 4(p^2 — h^2) \cdot h = \frac{4}{3}(p^2 h — h^3).$$

3. Нахождение производной объёма $V(h)$

Теперь найдём производную объёма по высоте $h$, чтобы найти точку максимума:

$$V'(h) = \frac{4}{3} \left( \frac{d}{dh}(p^2 h) — \frac{d}{dh}(h^3) \right).$$

Производная от $p^2 h$ по $h$ равна $p^2$, а производная от $h^3$ равна $3h^2$, поэтому:

$$V'(h) = \frac{4}{3}(p^2 — 3h^2).$$

4. Определение промежутка возрастания

Чтобы найти промежуток возрастания и убывания объёма, приравняем производную к нулю:

$$\frac{4}{3}(p^2 — 3h^2) = 0.$$

Из этого уравнения получаем:

$$p^2 — 3h^2 = 0,$$ $$p^2 = 3h^2,$$ $$h^2 = \frac{p^2}{3},$$ $$h = \frac{p}{\sqrt{3}} = \frac{p\sqrt{3}}{3}.$$

5. Проверка, что это точка максимума

Для этого можно проанализировать знак производной. Если $h < \frac{p}{\sqrt{3}}$, то $V'(h) > 0$, и объём растёт. Если $h > \frac{p}{\sqrt{3}}$, то $V'(h) < 0$, и объём убывает. Таким образом, точка $h = \frac{p\sqrt{3}}{3}$ является точкой максимума объёма.

Ответ:

При высоте пирамиды $h = \frac{p\sqrt{3}}{3}$ её объём будет наибольшим.

Ответ: $\boxed{\frac{p\sqrt{3}}{3}}$.