ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Периметр осевого сечения цилиндра равен $p$ см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объём был максимальным?

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, основание которого равно диаметру основания цилиндра, а высота равна высоте цилиндра;

Пусть $r$ — радиус основания и $h$ — высота цилиндра, тогда:
$P = 2 \cdot 2r + 2h = 4r + 2h = p, \text{ отсюда } r = \frac{p — 2h}{4};$
$V(h) = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi h \cdot \frac{(p^2 — 4ph + 4h^2)}{16} = \frac{\pi}{16} \cdot (hp^2 — 4ph^2 + 4h^3);$

Производная функции:
$V'(h) = \frac{\pi}{16} \cdot (p^2(h)’ — 4p(h^2)’ + 4(h^3)’);$
$V'(h) = \frac{\pi}{16} \cdot (p^2 — 4p \cdot 2h + 4 \cdot 3h^2) = \frac{\pi}{16} \cdot (12h^2 — 8ph + p^2);$

Промежуток возрастания:
$12h^2 — 8ph + p^2 = 0;$
$D = (8p)^2 — 4 \cdot 12 \cdot p^2 = 64p^2 — 48p^2 = 16p^2, \text{ тогда: }$
$h_1 = \frac{8p — 4p}{2 \cdot 12} = \frac{4p}{24} = \frac{p}{6} \text{ и } h_2 = \frac{8p + 4p}{2 \cdot 12} = \frac{12p}{24} = \frac{p}{2};$
$\left( h — \frac{p}{6} \right) \left( h — \frac{p}{2} \right) \geq 0;$
$h \leq \frac{p}{6} \text{ или } h \geq \frac{p}{2};$

Точка максимума: $h = \frac{p}{6};$

Ответ: $\frac{p}{6}.$

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, основание которого равно диаметру основания цилиндра, а высота сечения равна высоте цилиндра.

Дано:

• Периметр осевого сечения цилиндра равен $p$ см.
• Необходимо найти высоту цилиндра $h$, при которой его объём будет максимальным.

1) Обозначения и выражение для радиуса основания

Пусть:

• $r$ — радиус основания цилиндра.
• $h$ — высота цилиндра.
• $P$ — периметр осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого:

• одна сторона равна диаметру основания цилиндра, то есть $2r$,
• другая сторона равна высоте цилиндра, то есть $h$.

Тогда периметр осевого сечения цилиндра $P$ вычисляется по формуле периметра прямоугольника:

$$P = 2 \cdot (2r) + 2 \cdot h = 4r + 2h.$$

По условию задачи, периметр осевого сечения равен $p$:

$$4r + 2h = p.$$

Отсюда выразим радиус $r$ через высоту $h$ и периметр $p$:

$$4r = p — 2h \quad \Rightarrow \quad r = \frac{p — 2h}{4}.$$

2) Объём цилиндра

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$$V = \pi r^2 h.$$

Подставим выражение для радиуса $r$ в эту формулу:

$$V(h) = \pi \left( \frac{p — 2h}{4} \right)^2 h = \pi h \cdot \frac{(p — 2h)^2}{16}.$$

Раскроем квадрат в числителе:

$$(p — 2h)^2 = p^2 — 4ph + 4h^2,$$

тогда объём $V(h)$ становится:

$$V(h) = \pi h \cdot \frac{p^2 — 4ph + 4h^2}{16} = \frac{\pi}{16} \cdot (p^2h — 4ph^2 + 4h^3).$$

3) Нахождение производной объёма

Чтобы найти высоту $h$, при которой объём цилиндра максимален, нам нужно найти производную объёма $V(h)$ по $h$, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Производная функции объёма $V(h)$ по $h$:

$$V'(h) = \frac{\pi}{16} \cdot \left( \frac{d}{dh} (p^2h) — \frac{d}{dh} (4ph^2) + \frac{d}{dh} (4h^3) \right).$$

Рассчитаем производные по частям:

• Производная от $p^2h$ по $h$ равна $p^2$,
• Производная от $4ph^2$ по $h$ равна $8ph$,
• Производная от $4h^3$ по $h$ равна $12h^2$.

Таким образом, производная $V'(h)$ будет:

$$V'(h) = \frac{\pi}{16} \cdot (p^2 — 8ph + 12h^2).$$

4) Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, при которых объём может быть максимальным или минимальным, приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$p^2 — 8ph + 12h^2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение относительно $h$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ уравнения $12h^2 — 8ph + p^2 = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = (-8p)^2 — 4 \cdot 12 \cdot p^2 = 64p^2 — 48p^2 = 16p^2.$$

Корни уравнения находятся по формуле для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $a = 12$, $b = -8p$, и $c = p^2$.

Подставим эти значения:

$$h = \frac{-(-8p) \pm \sqrt{16p^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8p \pm 4p}{24}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$h_1 = \frac{8p — 4p}{24} = \frac{4p}{24} = \frac{p}{6},$$ $$h_2 = \frac{8p + 4p}{24} = \frac{12p}{24} = \frac{p}{2}.$$

5) Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь исследуем знак производной на интервалах, определённых корнями $h_1 = \frac{p}{6}$ и $h_2 = \frac{p}{2}$.

Признак изменения знака производной $V'(h)$ в окрестности этих точек даёт информацию о характере экстремума (максимум или минимум).

Рассмотрим знак выражения $V'(h) = \frac{\pi}{16} \cdot (12h^2 — 8ph + p^2)$ на следующих промежутках:

• $h < \frac{p}{6}$,
• $\frac{p}{6} < h < \frac{p}{2}$,
• $h > \frac{p}{2}$.

1. Для $h < \frac{p}{6}$, выражение $12h^2 — 8ph + p^2$ положительно, так как $h$ ещё не достигло минимального значения.
2. Для $h > \frac{p}{2}$, выражение будет отрицательным, так как производная меняет знак после $\frac{p}{2}$.
3. Между $\frac{p}{6}$ и $\frac{p}{2}$, выражение $12h^2 — 8ph + p^2$ положительное, что указывает на возрастание объёма.

6) Вывод

Таким образом, для того чтобы объём цилиндра был максимальным, высота цилиндра должна быть $h = \frac{p}{6}$.

Ответ: $h = \frac{p}{6}$.