ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) x^2-7x+12 > 0;

б) -x^2+3x+4 > =0;

в) 3x^2-4x+1 < =0;

г) -2x^2+x+1 < 0.

а) $x^2 — 7x + 12 > 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;$$ $$(x — 3)(x — 4) > 0;$$

$x < 3$ и $x > 4$;

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

б) $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$;

$x^2 — 3x — 4 \leq 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) \leq 0;$$

$-1 \leq x \leq 4$;

Ответ: $x \in [-1; 4]$.

в) $3x^2 — 4x + 1 \leq 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;$$ $$3 \left( x — \frac{1}{3} \right)(x — 1) \leq 0;$$

$\frac{1}{3} \leq x \leq 1$;

Ответ: $x \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$;

$2x^2 — x — 1 > 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5;$$ $$x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$(x + 0,5)(x — 1) > 0;$$

$x < -0,5$ и $x > 1$;

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$.

а) Решить неравенство:

$$x^2 — 7x + 12 > 0$$

Шаг 1: Найдём дискриминант квадратного трёхчлена

Уравнение имеет вид:

$$ax^2 + bx + c > 0,\quad \text{где } a = 1,\, b = -7,\, c = 12$$

Вычислим дискриминант по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$$

Шаг 2: Найдём корни квадратного уравнения

По формуле корней:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3,\quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 3: Разложим выражение на множители

$$x^2 — 7x + 12 = (x — 3)(x — 4)$$

Таким образом, неравенство становится:

$$(x — 3)(x — 4) > 0$$

Шаг 4: Найдём промежутки знакопостоянства

Разметим числовую прямую на три промежутка по найденным корням:

• $x < 3$
• $3 < x < 4$
• $x > 4$

Проверим знак выражения на каждом из промежутков:

1. Промежуток $x < 3$, например, $x = 0$:
   $(0 — 3)(0 — 4) = (-3)(-4) = 12 > 0$
2. Промежуток $3 < x < 4$, например, $x = 3.5$:
   $(3.5 — 3)(3.5 — 4) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$
3. Промежуток $x > 4$, например, $x = 5$:
   $(5 — 3)(5 — 4) = (2)(1) = 2 > 0$

Шаг 5: Запишем ответ

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется:

• при $x < 3$
• при $x > 4$

Итог:

$$\boxed{x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)}$$

б) Решить неравенство:

$$-x^2 + 3x + 4 \geq 0$$

Шаг 1: Преобразуем к стандартному виду

Домножим обе части на -1, поменяв знак неравенства (важно!):

$$x^2 — 3x — 4 \leq 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант

$$a = 1,\quad b = -3,\quad c = -4$$ $$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Шаг 3: Найдём корни

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 4: Разложим на множители

$$x^2 — 3x — 4 = (x + 1)(x — 4)$$

Итак, неравенство:

$$(x + 1)(x — 4) \leq 0$$

Шаг 5: Промежутки знакопостоянства

Разметим на числовой прямой: $x = -1$, $x = 4$

Проверим знаки:

• $x < -1$, например $x = -2$:
  $(-2 + 1)(-2 — 4) = (-1)(-6) = 6 > 0$
• $-1 < x < 4$, например $x = 0$:
  $(0 + 1)(0 — 4) = (1)(-4) = -4 < 0$
• $x > 4$, например $x = 5$:
  $(5 + 1)(5 — 4) = (6)(1) = 6 > 0$

Шаг 6: Учитываем знак «меньше или равно нуля»

Ищем где выражение не положительно:

• $-1 \leq x \leq 4$

Итог:

$$\boxed{x \in [-1; 4]}$$

в) Решить неравенство:

$$3x^2 — 4x + 1 \leq 0$$

Шаг 1: Дискриминант

$$a = 3,\quad b = -4,\quad c = 1$$ $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4$$

Шаг 2: Корни

$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ $$x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\quad x_2 = \frac{6}{6} = 1$$

Шаг 3: Факторизация

$$3x^2 — 4x + 1 = 3(x — \frac{1}{3})(x — 1)$$

Неравенство:

$$3(x — \frac{1}{3})(x — 1) \leq 0$$

Знак «меньше или равно нуля» позволяет делить обе стороны на положительное число (3):

$$(x — \frac{1}{3})(x — 1) \leq 0$$

Шаг 4: Анализ по числовой прямой

Корни: $\frac{1}{3}$, $1$

Промежутки:

• $x < \frac{1}{3}$, например $x = 0$:
  $(0 — \frac{1}{3})(0 — 1) = (-\frac{1}{3})(-1) = \frac{1}{3} > 0$
• $\frac{1}{3} < x < 1$, например $x = 0.5$:
  $(0.5 — \frac{1}{3})(0.5 — 1) = (\frac{1}{6})(-0.5) < 0$
• $x > 1$, например $x = 2$:
  $(2 — \frac{1}{3})(2 — 1) = (\frac{5}{3})(1) > 0$

Шаг 5: Ответ

Ищем где выражение меньше либо равно нуля — только промежуток между корнями, включая сами корни:

$$\boxed{x \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]}$$

г) Решить неравенство:

$$-2x^2 + x + 1 < 0$$

Шаг 1: Умножим на -1 (поменяем знак неравенства)

$$2x^2 — x — 1 > 0$$

Шаг 2: Дискриминант

$$a = 2,\quad b = -1,\quad c = -1$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 3: Корни

$$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$$ $$x_1 = \frac{-2}{4} = -0.5,\quad x_2 = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 4: Разложим на множители

$$2x^2 — x — 1 = 2(x + 0.5)(x — 1)$$

Неравенство:

$$2(x + 0.5)(x — 1) > 0$$

Делим обе части на 2 (знак сохраняется):

$$(x + 0.5)(x — 1) > 0$$

Шаг 5: Промежутки

Корни: $x = -0.5$, $x = 1$

• $x < -0.5$, например $x = -1$:
  $(-1 + 0.5)(-1 — 1) = (-0.5)(-2) = 1 > 0$
• $-0.5 < x < 1$, например $x = 0$:
  $(0 + 0.5)(0 — 1) = (0.5)(-1) = -0.5 < 0$
• $x > 1$, например $x = 2$:
  $(2 + 0.5)(2 — 1) = (2.5)(1) = 2.5 > 0$

Шаг 6: Ответ

Решение неравенства — те $x$, при которых выражение больше нуля:

$$\boxed{x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)}$$