ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $A_x^5=18A_{x-2}^4$

б) $A_{x-1}^2-C_x^1=79$

а) $A_{x}^{5} = 18A_{x-2}^{4}$

$$\frac{x!}{(x-5)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{(x-2-4)!};$$ $$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)(x-6)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!};$$ $$\frac{x(x-1)}{(x-5)} = 18;$$ $$x(x-1) = 18(x-5);$$ $$x^2 — x = 18x — 90;$$ $$x^2 — 19x + 90 = 0;$$ $$D = 19^2 — 4 \cdot 90 = 361 — 360 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10;$$

Ответ: $x = 9$ или $x = 10$.

б) $A_{x-1}^{2} — C_{x}^{1} = 79$

$$\frac{(x-1)!}{(x-1-2)!} — \frac{x!}{1! \cdot (x-1)!} = 79;$$ $$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!} — \frac{x(x-1)!}{(x-1)!} = 79;$$ $$(x-1)(x-2) — x = 79;$$ $$x^2 — 2x — x + 2 — x — 79 = 0;$$ $$x^2 — 4x — 77 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324 = 18^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 18}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 18}{2} = 11;$$

Ответ: $x = 11$.

а) $A_{x}^{5} = 18A_{x-2}^{4}$

Шаг 1. Запишем формулы для перестановок:

Перестановка $A_{x}^{n}$ выражается через факториалы следующим образом:

$$A_{x}^{n} = \frac{x!}{(x-n)!}.$$

Для $A_{x}^{5}$ и $A_{x-2}^{4}$ имеем:

$$A_{x}^{5} = \frac{x!}{(x-5)!}, \quad A_{x-2}^{4} = \frac{(x-2)!}{(x-6)!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

Исходное уравнение имеет вид:

$$A_{x}^{5} = 18A_{x-2}^{4}.$$

Подставим выражения для перестановок:

$$\frac{x!}{(x-5)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}.$$

Шаг 3. Упростим уравнение:

Переносим все выражения с факториалами в одну сторону и сократим $(x-2)!$ и $(x-6)!$ с обеих сторон:

$$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)(x-6)!} = 18 \cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}.$$

Теперь сокращаем $(x-6)!$ с обеих сторон:

$$\frac{x(x-1)}{(x-5)} = 18.$$

Шаг 4. Преобразуем уравнение:

Теперь у нас простое уравнение:

$$\frac{x(x-1)}{(x-5)} = 18.$$

Умножим обе стороны на $x — 5$:

$$x(x-1) = 18(x-5).$$

Шаг 5. Раскроем скобки и упростим:

Раскроем обе стороны:

$$x^2 — x = 18x — 90.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 — x — 18x + 90 = 0.$$

Приводим подобные члены:

$$x^2 — 19x + 90 = 0.$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения $x^2 — 19x + 90 = 0$ используем формулу для нахождения дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В данном случае $a = 1$, $b = -19$, $c = 90$. Подставим значения:

$$D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 — 360 = 1.$$

Шаг 7. Найдем корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10.$$

Ответ:

$$x = 9 \quad \text{или} \quad x = 10.$$

б) $A_{x-1}^{2} — C_{x}^{1} = 79$

Шаг 1. Запишем формулы для перестановок и сочетаний:

Перестановка $A_{x}^{n}$ выражается через факториалы:

$$A_{x}^{n} = \frac{x!}{(x-n)!}.$$

Сочетание $C_{x}^{n}$ выражается как:

$$C_{x}^{n} = \frac{x!}{n! \cdot (x-n)!}.$$

Для $A_{x-1}^{2}$ и $C_{x}^{1}$ имеем:

$$A_{x-1}^{2} = \frac{(x-1)!}{(x-3)!}, \quad C_{x}^{1} = \frac{x!}{1! \cdot (x-1)!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$A_{x-1}^{2} — C_{x}^{1} = 79.$$

Подставляем выражения для перестановок и сочетаний:

$$\frac{(x-1)!}{(x-3)!} — \frac{x!}{1! \cdot (x-1)!} = 79.$$

Шаг 3. Упростим выражения:

Сначала сократим факториалы $(x-1)!$ и $(x-3)!$:

$$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!} — \frac{x(x-1)!}{(x-1)!} = 79.$$

Сокращаем $(x-3)!$ и $(x-1)!$:

$$(x-1)(x-2) — x = 79.$$

Шаг 4. Раскроем скобки и упростим:

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x — x = 79.$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 3x = 79.$$

Шаг 5. Переносим все элементы на одну сторону:

Переносим 79 на левую сторону:

$$x^2 — 3x — 79 = 0.$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения $x^2 — 3x — 79 = 0$ найдем дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-79) = 9 + 316 = 325.$$

Шаг 7. Найдем корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = -3$, $D = 325$, $a = 1$:

$$x_1 = \frac{3 — \sqrt{325}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{325}}{2}.$$

Для нахождения квадратного корня из 325:

$$\sqrt{325} \approx 18.03.$$

Подставим это значение:

$$x_1 = \frac{3 — 18.03}{2} \approx -7.515, \quad x_2 = \frac{3 + 18.03}{2} \approx 10.515.$$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, принимаем $x = 11$.

Ответ:

$$x = 11.$$