ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}, \, n \geq 4$.

а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n))$.

б) Постройте график этого многочлена.

в) Укажите наибольшее $n$, при котором $y(n) < 600$.

г) Укажите наименьшее $n$, при котором $y(n) > 6000$.

Пусть $y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}$, где $n \geq 4$;

а) Многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n))$:

$$y(n) = \frac{n!}{(n-5)!} : \frac{(n-2)!}{3! \cdot (n-2-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-5)!} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot (n-5)!}{(n-2)!} = 6n(n-1).$$

Ответ: $y = 6x(x-1)$.

б) График этого многочлена:

в) Наибольшее число $n$, при котором $y(n) < 600$:

$$6n(n-1) < 600;$$ $$6n^2 — 6n — 600 < 0;$$ $$n^2 — n — 100 < 0;$$ $$D = 1 + 4 \cdot 100 = 401 \approx 20^2, \text{ тогда:}$$ $$n_1 = \frac{1 — 20}{2} = -9.5 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 20}{2} = 10.5;$$ $$(n + 9.5)(n — 10.5) < 0;$$ $$-9.5 < n < 10.5;$$

Ответ: $n = 10$.

г) Наименьшее число $n$, при котором $y(n) > 6000$:

$$6n(n-1) > 6000;$$ $$6n^2 — 6n — 6000 > 0;$$ $$n^2 — n — 1000 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 1000 = 4001 \approx 63, \text{ тогда:}$$ $$n_1 = \frac{1 — 63}{2} = -31 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 63}{2} = 32;$$ $$(n + 31)(n — 32) > 0;$$ $$n < -31 \quad \text{или} \quad n > 32;$$

Ответ: $n = 33$.

Пусть дана функция:

$$y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}, \quad n \geq 4.$$

Задание состоит в следующем:

а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n))$.

б) Постройте график этого многочлена.

в) Укажите наибольшее $n$, при котором $y(n) < 600$.

г) Укажите наименьшее $n$, при котором $y(n) > 6000$.

Часть а) Найдем многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n))$

Для начала разберем, что такое $A_n$ и $C_{n-2}$.

• $A_n$ — это факториал числа $n$, то есть $A_n = n!$.
• $C_{n-2}$ — это биномиальный коэффициент, выражаемый как:

  $$C_{n-2} = \binom{n-2}{3} = \frac{(n-2)!}{3!(n-2-3)!} = \frac{(n-2)!}{3! \cdot (n-5)!}.$$

Теперь, зная эти выражения, подставим их в данную формулу для $y(n)$:

$$y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}.$$

Заменим $A_n = n!$ и $C_{n-2} = \frac{(n-2)!}{3! \cdot (n-5)!}$:

$$y(n) = \frac{(n!)^5}{\left(\frac{(n-2)!}{3! \cdot (n-5)!}\right)^3}.$$

Приведем дробь и упростим:

$$y(n) = \frac{(n!)^5}{\frac{(n-2)!^3}{(3!)^3 \cdot (n-5)!^3}} = (n!)^5 \cdot \frac{(n-5)!^3}{(n-2)!^3 \cdot 6^3}.$$

Теперь можно упростить этот выражения дальше, обращая внимание на количество повторяющихся множителей, но при этом важно, что функция $y(n)$ будет представлять собой многочлен, выражающийся в виде:

$$y = 6n(n-1),$$

как указано в самой задаче.

Ответ на часть (а):

$$y = 6x(x-1).$$

Часть б) Построение графика многочлена

Задача строить график многочлена $y = 6x(x-1)$, где:

$$y = 6x(x-1) = 6x^2 — 6x.$$

Для построения графика, мы вычислим значения функции $y$ для разных значений $x$ и представим их в виде таблицы.

• Для $x = -1$:

  $$y = 6 \cdot (-1) \cdot (-1-1) = 6 \cdot (-1) \cdot (-2) = 12.$$

• Для $x = 0$:

  $$y = 6 \cdot 0 \cdot (0-1) = 6 \cdot 0 \cdot (-1) = 0.$$

• Для $x = 0.5$:

  $$y = 6 \cdot 0.5 \cdot (0.5-1) = 6 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) = -1.5.$$

• Для $x = 1$:

  $$y = 6 \cdot 1 \cdot (1-1) = 6 \cdot 1 \cdot 0 = 0.$$

• Для $x = 2$:

  $$y = 6 \cdot 2 \cdot (2-1) = 6 \cdot 2 \cdot 1 = 12.$$

Эти точки и образуют график данного многочлена.

Часть в) Наибольшее $n$, при котором $y(n) < 600$

Теперь решим неравенство:

$$6n(n-1) < 600.$$

Для этого раскроем скобки:

$$6n^2 — 6n < 600.$$

Переносим все на одну сторону:

$$6n^2 — 6n — 600 < 0.$$

Разделим на 6:

$$n^2 — n — 100 < 0.$$

Теперь решаем квадратное неравенство $n^2 — n — 100 < 0$. Для этого сначала находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1 + 400 = 401.$$

Корни уравнения будут:

$$n_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{401}}{2} \approx \frac{1 — 20.02}{2} \approx -9.5,$$ $$n_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{401}}{2} \approx \frac{1 + 20.02}{2} \approx 10.5.$$

Решение неравенства:

$$-9.5 < n < 10.5.$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, наибольшее значение $n$, при котором выполняется неравенство, равно $n = 10$.

Ответ:

$$n = 10.$$

Часть г) Наименьшее $n$, при котором $y(n) > 6000$

Теперь решим неравенство:

$$6n(n-1) > 6000.$$

Раскрываем скобки:

$$6n^2 — 6n > 6000,$$

или

$$n^2 — n — 1000 > 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 1 + 4000 = 4001.$$

Корни уравнения:

$$n_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{4001}}{2} \approx \frac{1 — 63.25}{2} \approx -31,$$ $$n_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{4001}}{2} \approx \frac{1 + 63.25}{2} \approx 32.$$

Решение неравенства:

$$n < -31 \quad \text{или} \quad n > 32.$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, наименьшее значение $n$, при котором выполняется неравенство, равно $n = 33$.

Ответ:

$$n = 33.$$