ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Раскройте скобки в выражении:

а) $(x+1{)}^7$

б) $(2x-y{)}^6$

в) $(x^2+2{)}^5$

г) $(1-x^3{)}^4$

Формула бинома Ньютона:

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n;$$

а) $(x+1{)}^7=1\cdot x^7+7\cdot x^6+21\cdot x^5+35\cdot x^4+35\cdot x^3+21\cdot x^2+7x+1=$

$(x + 1)^7 = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7x + 1 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1$;

б) $(2x-y{)}^6=1\cdot (2x{)}^6+6\cdot (2x{)}^5\cdot (-y)+15\cdot (2x{)}^4\cdot (-y{)}^2+20\cdot (2x{)}^3\cdot (-y{)}^3+$

$+15\cdot (2x{)}^2\cdot (-y{)}^4+6\cdot 2x\cdot (-y{)}^5+1\cdot (-y{)}^6=64x^6-192x^{5}y+240x^4{y}^2-$

$(2x — y)^6 = 1 \cdot (2x)^6 + 6 \cdot (2x)^5 \cdot (-y) + 15 \cdot (2x)^4 \cdot (-y)^2 + 20 \cdot (2x)^3 \cdot (-y)^3 + 15 \cdot (2x)^2 \cdot (-y)^4 + 6 \cdot 2x \cdot (-y)^5 + 1 \cdot (-y)^6 = 64x^6 — 192x^5y + 240x^4y^2 — 160x^3y^3 + 60x^2y^4 — 12xy^5 + y^6$;

в) $(x^2+2{)}^5=1\cdot (x^2{)}^5+5\cdot (x^2{)}^4\cdot 2+10\cdot (x^2{)}^3\cdot 2^2+10\cdot (x^2{)}^2\cdot 2^3+5\cdot x^2\cdot 2^4+$

$(x^2 + 2)^5 = 1 \cdot (x^2)^5 + 5 \cdot (x^2)^4 \cdot 2 + 10 \cdot (x^2)^3 \cdot 2^2 + 10 \cdot (x^2)^2 \cdot 2^3 + 5 \cdot x^2 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$;

г) $(1-x^3{)}^4=1+4\cdot (-x^3)+6\cdot (-x^3{)}^2+4\cdot (-x^3{)}^3+1\cdot (-x^3{)}^4=$

$(1 — x^3)^4 = 1 + 4 \cdot (-x^3) + 6 \cdot (-x^3)^2 + 4 \cdot (-x^3)^3 + 1 \cdot (-x^3)^4 = 1 — 4x^3 + 6x^6 — 4x^9 + x^{12}$;

Биномиальные коэффициенты взяты из треугольника Паскаля:

1. Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$

где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые можно вычислить по формуле:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Биномиальные коэффициенты можно найти также с помощью треугольника Паскаля, где каждый коэффициент равен числу в соответствующей ячейке треугольника.

Пример а) $(x + 1)^7$

Мы хотим разложить $(x + 1)^7$ с использованием бинома Ньютона.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(x + 1)^7 = \sum_{k=0}^{7} C_7^k x^{7-k} 1^k$$

Рассмотрим каждый член:

• Для $k = 0$: $C_7^0 = 1$, $x^{7-0} = x^7$, $1^0 = 1$. Таким образом, первый член: $1 \cdot x^7 = x^7$.
• Для $k = 1$: $C_7^1 = 7$, $x^{7-1} = x^6$, $1^1 = 1$. Второй член: $7 \cdot x^6 = 7x^6$.
• Для $k = 2$: $C_7^2 = 21$, $x^{7-2} = x^5$, $1^2 = 1$. Третий член: $21 \cdot x^5 = 21x^5$.
• Для $k = 3$: $C_7^3 = 35$, $x^{7-3} = x^4$, $1^3 = 1$. Четвертый член: $35 \cdot x^4 = 35x^4$.
• Для $k = 4$: $C_7^4 = 35$, $x^{7-4} = x^3$, $1^4 = 1$. Пятый член: $35 \cdot x^3 = 35x^3$.
• Для $k = 5$: $C_7^5 = 21$, $x^{7-5} = x^2$, $1^5 = 1$. Шестой член: $21 \cdot x^2 = 21x^2$.
• Для $k = 6$: $C_7^6 = 7$, $x^{7-6} = x$, $1^6 = 1$. Седьмой член: $7 \cdot x = 7x$.
• Для $k = 7$: $C_7^7 = 1$, $x^{7-7} = x^0 = 1$, $1^7 = 1$. Восьмой (последний) член: $1 \cdot 1 = 1$.

Итак, разложение $(x + 1)^7$ даёт:

$$(x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1$$

Пример б) $(2x — y)^6$

Теперь рассмотрим $(2x — y)^6$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(2x — y)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k (2x)^{6-k} (-y)^k$$

Рассмотрим каждый член:

• Для $k = 0$: $C_6^0 = 1$, $(2x)^{6-0} = (2x)^6 = 64x^6$, $(-y)^0 = 1$. Первый член: $64x^6$.
• Для $k = 1$: $C_6^1 = 6$, $(2x)^{6-1} = (2x)^5 = 32x^5$, $(-y)^1 = -y$. Второй член: $6 \cdot 32x^5 \cdot (-y) = -192x^5y$.
• Для $k = 2$: $C_6^2 = 15$, $(2x)^{6-2} = (2x)^4 = 16x^4$, $(-y)^2 = y^2$. Третий член: $15 \cdot 16x^4 \cdot y^2 = 240x^4y^2$.
• Для $k = 3$: $C_6^3 = 20$, $(2x)^{6-3} = (2x)^3 = 8x^3$, $(-y)^3 = -y^3$. Четвертый член: $20 \cdot 8x^3 \cdot (-y^3) = -160x^3y^3$.
• Для $k = 4$: $C_6^4 = 15$, $(2x)^{6-4} = (2x)^2 = 4x^2$, $(-y)^4 = y^4$. Пятый член: $15 \cdot 4x^2 \cdot y^4 = 60x^2y^4$.
• Для $k = 5$: $C_6^5 = 6$, $(2x)^{6-5} = 2x$, $(-y)^5 = -y^5$. Шестой член: $6 \cdot 2x \cdot (-y^5) = -12xy^5$.
• Для $k = 6$: $C_6^6 = 1$, $(2x)^{6-6} = 1$, $(-y)^6 = y^6$. Седьмой (последний) член: $y^6$.

Итак, разложение $(2x — y)^6$ даёт:

$$(2x — y)^6 = 64x^6 — 192x^5y + 240x^4y^2 — 160x^3y^3 + 60x^2y^4 — 12xy^5 + y^6$$

Пример в) $(x^2 + 2)^5$

Теперь рассмотрим $(x^2 + 2)^5$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(x^2 + 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (x^2)^{5-k} 2^k$$

Рассмотрим каждый член:

• Для $k = 0$: $C_5^0 = 1$, $(x^2)^{5-0} = x^{10}$, $2^0 = 1$. Первый член: $x^{10}$.
• Для $k = 1$: $C_5^1 = 5$, $(x^2)^{5-1} = x^8$, $2^1 = 2$. Второй член: $5 \cdot x^8 \cdot 2 = 10x^8$.
• Для $k = 2$: $C_5^2 = 10$, $(x^2)^{5-2} = x^6$, $2^2 = 4$. Третий член: $10 \cdot x^6 \cdot 4 = 40x^6$.
• Для $k = 3$: $C_5^3 = 10$, $(x^2)^{5-3} = x^4$, $2^3 = 8$. Четвертый член: $10 \cdot x^4 \cdot 8 = 80x^4$.
• Для $k = 4$: $C_5^4 = 5$, $(x^2)^{5-4} = x^2$, $2^4 = 16$. Пятый член: $5 \cdot x^2 \cdot 16 = 80x^2$.
• Для $k = 5$: $C_5^5 = 1$, $(x^2)^{5-5} = 1$, $2^5 = 32$. Шестой (последний) член: $1 \cdot 1 \cdot 32 = 32$.

Итак, разложение $(x^2 + 2)^5$ даёт:

$$(x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$$

Пример г) $(1 — x^3)^4$

Теперь рассмотрим $(1 — x^3)^4$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(1 — x^3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k 1^{4-k} (-x^3)^k$$

Рассмотрим каждый член:

• Для $k = 0$: $C_4^0 = 1$, $1^{4-0} = 1$, $(-x^3)^0 = 1$. Первый член: $1$.
• Для $k = 1$: $C_4^1 = 4$, $1^{4-1} = 1$, $(-x^3)^1 = -x^3$. Второй член: $-4x^3$.
• Для $k = 2$: $C_4^2 = 6$, $1^{4-2} = 1$, $(-x^3)^2 = x^6$. Третий член: $6x^6$.
• Для $k = 3$: $C_4^3 = 4$, $1^{4-3} = 1$, $(-x^3)^3 = -x^9$. Четвертый член: $-4x^9$.
• Для $k = 4$: $C_4^4 = 1$, $1^{4-4} = 1$, $(-x^3)^4 = x^{12}$. Пятый (последний) член: $x^{12}$.

Итак, разложение $(1 — x^3)^4$ даёт:

$$(1 — x^3)^4 = 1 — 4x^3 + 6x^6 — 4x^9 + x^{12}$$