ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

У многочлена Р найдите коэффициент при х³:

а) $P (x) = (1 + 3 x)^{4}$ ;

б) $P (x) = (3 - 2 x)^{5}$ ;

в) $P (x) = (x + 2)^{5} - (2 x + 1)^{4}$ ;

г) $P (x) = (x^{2} - x)^{4} + {(3 - \frac{x}{3})}^{4}$

Краткий ответ:

Формула бинома Ньютона:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n};$

а) $P (x) = (1 + 3 x)^{4}$ ;

$(1 + 3 x)^{4} = C_{4}^{0} + C_{4}^{1} \cdot 3 x + C_{4}^{2} \cdot (3 x)^{2} + C_{4}^{3} \cdot (3 x)^{3} + C_{4}^{4} \cdot (3 x)^{4};$ $C_{4}^{3} \cdot (3 x)^{3} = 4 \cdot (3 x)^{3} = 4 \cdot 27 x^{3} = 108 x^{3};$

Ответ: 108.

б) $P (x) = (3 - 2 x)^{5}$ ;

$(3 - 2 x)^{5} = C_{5}^{0} \cdot 3^{5} + C_{5}^{1} \cdot 3^{4} \cdot (- 2 x) + \dots + C_{5}^{3} \cdot 3^{2} \cdot (- 2 x)^{3} + \dots;$ $C_{5}^{3} \cdot 3^{2} \cdot (- 2 x)^{3} = 10 \cdot 9 \cdot (- 8 x^{3}) = - 720 x^{3};$

Ответ: -720.

в) $P (x) = (x + 2)^{5} - (2 x + 1)^{4}$ ;

$(x + 2)^{5} = C_{5}^{0} \cdot x^{5} + C_{5}^{1} \cdot x^{4} \cdot 2 + C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 2^{2} + \dots + C_{5}^{5} \cdot 2^{5};$ $(2 x + 1)^{4} = C_{4}^{0} \cdot (2 x)^{4} + C_{4}^{1} \cdot (2 x)^{3} \cdot 1 + \dots + C_{4}^{4} \cdot 1;$ $C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 2^{2} - C_{4}^{1} \cdot (2 x)^{3} \cdot 1 = 10 x^{3} \cdot 4 - 4 \cdot 8 x^{3} = 40 x^{3} - 32 x^{3} = 8 x^{3};$

Ответ: 8.

г) $P (x) = (x^{2} - x)^{4} + {(3 - \frac{x}{3})}^{4}$ ;

$(x^{2} - x)^{4} = C_{4}^{0} \cdot (x^{2})^{4} + C_{4}^{1} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (- x) + \dots + C_{4}^{3} \cdot x^{2} \cdot (- x)^{3} + C_{4}^{4} \cdot x^{4};$ ${(3 - \frac{x}{3})}^{4} = C_{4}^{0} \cdot 3^{4} + C_{4}^{1} \cdot 3^{3} \cdot (- \frac{x}{3}) + \dots + C_{4}^{3} \cdot 3 \cdot {(- \frac{x}{3})}^{3} + C_{4}^{4} \cdot {(- \frac{x}{3})}^{4};$ $C_{4}^{3} \cdot 3 \cdot {(- \frac{x}{3})}^{3} = 4 \cdot 3 \cdot (- \frac{x^{3}}{27}) = \frac{- 4 x^{3}}{9};$

Ответ: $- \frac{4}{9}$ .

Биномиальные коэффициенты взяты из треугольника Паскаля:

Подробный ответ:

1. Формула бинома Ньютона:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$

где:

$C_{n}^{k}$ — это биномиальный коэффициент, который определяется по формуле:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

где $n!$ — это факториал числа $n$ , а $k!$ — факториал числа $k$ .

В каждом примере мы будем использовать эту формулу для вычисления разложения.

а) $P (x) = (1 + 3 x)^{4}$

Определение разложения:
В данном случае, у нас есть выражение $(1 + 3 x)^{4}$ , и мы хотим его разложить по формуле бинома Ньютона:

$(1 + 3 x)^{4} = C_{4}^{0} \cdot 1^{4} + C_{4}^{1} \cdot 1^{3} \cdot 3 x + C_{4}^{2} \cdot 1^{2} \cdot (3 x)^{2} + C_{4}^{3} \cdot 1^{1} \cdot (3 x)^{3} +$

$+ C_{4}^{4} \cdot 1^{0} \cdot (3 x)^{4}$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Мы можем вычислить биномиальные коэффициенты $C_{4}^{k}$ с помощью формулы:

$C_{4}^{0} = \frac{4!}{0! (4 - 0)!} = \frac{24}{1 \cdot 24} = 1$ $C_{4}^{1} = \frac{4!}{1! (4 - 1)!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4$ $C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$ $C_{4}^{3} = \frac{4!}{3! (4 - 3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4$ $C_{4}^{4} = \frac{4!}{4! (4 - 4)!} = \frac{24}{24 \cdot 1} = 1$

Разложение:
Подставляем коэффициенты и степени $(3 x)$ :

$(1 + 3 x)^{4} = 1 \cdot 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \cdot 3 x + 6 \cdot 1^{2} \cdot (3 x)^{2} + 4 \cdot 1^{1} \cdot (3 x)^{3} + 1 \cdot 1^{0} \cdot (3 x)^{4}$ $= 1 + 12 x + 54 x^{2} + 108 x^{3} + 81 x^{4}$

Ответ:
Мы ищем значение при $x^{3}$ , которое будет равно 108.

б) $P (x) = (3 - 2 x)^{5}$

Определение разложения:
Для выражения $(3 - 2 x)^{5}$ разложим его по формуле бинома Ньютона:

$(3 - 2 x)^{5} = C_{5}^{0} \cdot 3^{5} + C_{5}^{1} \cdot 3^{4} \cdot (- 2 x) + C_{5}^{2} \cdot 3^{3} \cdot (- 2 x)^{2} + C_{5}^{3} \cdot 3^{2} \cdot (- 2 x)^{3} +$

$+ C_{5}^{4} \cdot 3^{1} \cdot (- 2 x)^{4} + C_{5}^{5} \cdot (- 2 x)^{5}$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Мы можем вычислить биномиальные коэффициенты $C_{5}^{k}$ с помощью формулы:

$C_{5}^{0} = \frac{5!}{0! (5 - 0)!} = 1$ $C_{5}^{1} = \frac{5!}{1! (5 - 1)!} = 5$ $C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! (5 - 2)!} = 10$ $C_{5}^{3} = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = 10$ $C_{5}^{4} = \frac{5!}{4! (5 - 4)!} = 5$ $C_{5}^{5} = \frac{5!}{5! (5 - 5)!} = 1$

Разложение:
Подставляем коэффициенты и степени $(- 2 x)$ :

$(3 - 2 x)^{5} = 1 \cdot 3^{5} + 5 \cdot 3^{4} \cdot (- 2 x) + 10 \cdot 3^{3} \cdot (- 2 x)^{2} + 10 \cdot 3^{2} \cdot (- 2 x)^{3} +$

$+ 5 \cdot 3^{1} \cdot (- 2 x)^{4} + 1 \cdot (- 2 x)^{5}$

$= 243 - 5 \cdot 81 \cdot 2 x + 10 \cdot 27 \cdot 4 x^{2} - 10 \cdot 9 \cdot 8 x^{3} + 5 \cdot 3 \cdot 16 x^{4} - 32 x^{5}$

$= 243 - 810 x + 1080 x^{2} - 720 x^{3} + 240 x^{4} - 32 x^{5}$

Ответ:
Мы ищем значение при $x^{3}$ , которое будет равно -720.

в) $P (x) = (x + 2)^{5} - (2 x + 1)^{4}$

Определение разложения:
Для выражения $(x + 2)^{5}$ разложим его по формуле бинома Ньютона:

$(x + 2)^{5} = C_{5}^{0} \cdot x^{5} + C_{5}^{1} \cdot x^{4} \cdot 2 + C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 2^{2} + C_{5}^{3} \cdot x^{2} \cdot 2^{3} + C_{5}^{4} \cdot x^{1} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5}$

Для выражения $(2 x + 1)^{4}$ разложим его аналогично:

$(2 x + 1)^{4} = C_{4}^{0} \cdot (2 x)^{4} + C_{4}^{1} \cdot (2 x)^{3} \cdot 1 + C_{4}^{2} \cdot (2 x)^{2} \cdot 1^{2} + C_{4}^{3} \cdot (2 x)^{1} \cdot 1^{3} + C_{4}^{4} \cdot 1^{4}$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Для $(x + 2)^{5}$ :

$C_{5}^{0} = 1, C_{5}^{1} = 5, C_{5}^{2} = 10, C_{5}^{3} = 10, C_{5}^{4} = 5, C_{5}^{5} = 1$

Для $(2 x + 1)^{4}$ :

$C_{4}^{0} = 1, C_{4}^{1} = 4, C_{4}^{2} = 6, C_{4}^{3} = 4, C_{4}^{4} = 1$

Разложение:
Подставляем биномиальные коэффициенты и вычисляем степень $x^{3}$ для обоих выражений:

$(x + 2)^{5} = x^{5} + 5 x^{4} \cdot 2 + 10 x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} \cdot 8 + 5 x \cdot 16 + 32$ $(2 x + 1)^{4} = (2 x)^{4} + 4 (2 x)^{3} + 6 (2 x)^{2} + 4 (2 x) + 1$

Выражаем и считаем разность для $x^{3}$ :

$10 x^{3} \cdot 4 - 4 \cdot 8 x^{3} = 40 x^{3} - 32 x^{3} = 8 x^{3}$

Ответ:
Ответ: $8$ .

г) $P (x) = (x^{2} - x)^{4} + {(3 - \frac{x}{3})}^{4}$

Определение разложения:
Разложим оба выражения по формуле бинома Ньютона:

$(x^{2} - x)^{4} = C_{4}^{0} \cdot (x^{2})^{4} + C_{4}^{1} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (- x) + C_{4}^{2} \cdot (x^{2})^{2} \cdot (- x)^{2} +$

$+ C_{4}^{3} \cdot x^{2} \cdot (- x)^{3} + C_{4}^{4} \cdot x^{4}$

${(3 - \frac{x}{3})}^{4} = C_{4}^{0} \cdot 3^{4} + C_{4}^{1} \cdot 3^{3} \cdot (- \frac{x}{3}) + C_{4}^{2} \cdot 3^{2} \cdot {(- \frac{x}{3})}^{2} +$

$+ C_{4}^{3} \cdot 3 \cdot {(- \frac{x}{3})}^{3} + C_{4}^{4} \cdot {(- \frac{x}{3})}^{4}$

Вычисление биномиальных коэффициентов:

$C_{4}^{k} для обоих выражений: C_{4}^{0} = 1, C_{4}^{1} = 4, C_{4}^{2} = 6, C_{4}^{3} = 4, C_{4}^{4} = 1$

Разложение:
При вычислении степени $x^{3}$ для второго выражения получаем:

$C_{4}^{3} \cdot 3 \cdot {(- \frac{x}{3})}^{3} = 4 \cdot 3 \cdot (- \frac{x^{3}}{27}) = \frac{- 4 x^{3}}{9}$

Ответ:
Ответ: $- \frac{4}{9}$ .

Оцени решение