ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Формула бинома Ньютона:

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n;$$

а) $P(x)=(1+3x{)}^4$;

$$(1+3x{)}^4=C_4^0+C_4^1\cdot 3x+C_4^2\cdot (3x{)}^2+C_4^3\cdot (3x{)}^3+C_4^4\cdot (3x{)}^4;$$$$C_4^3\cdot (3x{)}^3=4\cdot (3x{)}^3=4\cdot 27x^3=108x^3;$$

Ответ: 108.

б) $P(x)=(3-2x{)}^5$;

$$(3-2x{)}^5=C_5^0\cdot 3^5+C_5^1\cdot 3^4\cdot (-2x)+\cdots +C_5^3\cdot 3^2\cdot (-2x{)}^3+\cdots ;$$$$C_5^3\cdot 3^2\cdot (-2x{)}^3=10\cdot 9\cdot (-8x^3)=-720x^3;$$

Ответ: -720.

в) $P(x)=(x+2{)}^5-(2x+1{)}^4$;

$$(x+2{)}^5=C_5^0\cdot x^5+C_5^1\cdot x^4\cdot 2+C_5^2\cdot x^3\cdot 2^2+\cdots +C_5^5\cdot 2^5;$$$$(2x+1{)}^4=C_4^0\cdot (2x{)}^4+C_4^1\cdot (2x{)}^3\cdot 1+\cdots +C_4^4\cdot 1;$$$$C_5^2\cdot x^3\cdot 2^2-C_4^1\cdot (2x{)}^3\cdot 1=10x^3\cdot 4-4\cdot 8x^3=40x^3-32x^3=8x^3;$$

Ответ: 8.

г) $P(x)=(x^2-x{)}^4+{(3-\frac{x}{3})}^4$;

$$(x^2-x{)}^4=C_4^0\cdot (x^2{)}^4+C_4^1\cdot (x^2{)}^3\cdot (-x)+\cdots +C_4^3\cdot x^2\cdot (-x{)}^3+C_4^4\cdot x^4;$$$${(3-\frac{x}{3})}^4=C_4^0\cdot 3^4+C_4^1\cdot 3^3\cdot (-\frac{x}{3})+\cdots +C_4^3\cdot 3\cdot {(-\frac{x}{3})}^3+C_4^4\cdot {(-\frac{x}{3})}^4;$$$$C_4^3\cdot 3\cdot {(-\frac{x}{3})}^3=4\cdot 3\cdot (-\frac{x^3}{27})=\frac{-4x^3}{9};$$

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

Биномиальные коэффициенты взяты из треугольника Паскаля:

1. Формула бинома Ньютона:

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n$$

где:

$C_n^k$ — это биномиальный коэффициент, который определяется по формуле:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n!$ — это факториал числа $n$, а $k!$ — факториал числа $k$.

В каждом примере мы будем использовать эту формулу для вычисления разложения.

а) $P(x)=(1+3x{)}^4$

Определение разложения:
В данном случае, у нас есть выражение $(1+3x{)}^4$, и мы хотим его разложить по формуле бинома Ньютона:

$$(1+3x{)}^4=C_4^0\cdot 1^4+C_4^1\cdot 1^3\cdot 3x+C_4^2\cdot 1^2\cdot (3x{)}^2+C_4^3\cdot 1^1\cdot (3x{)}^3+$$

$$+C_4^4\cdot 1^0\cdot (3x{)}^4$$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Мы можем вычислить биномиальные коэффициенты $C_4^k$ с помощью формулы:

$$C_4^0=\frac{4!}{0!(4-0)!}=\frac{24}{1\cdot 24}=1$$$$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{24}{1\cdot 6}=4$$$$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{24}{2\cdot 2}=6$$$$C_4^3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{24}{6\cdot 1}=4$$$$C_4^4=\frac{4!}{4!(4-4)!}=\frac{24}{24\cdot 1}=1$$

Разложение:
Подставляем коэффициенты и степени $(3x)$:

$$(1+3x{)}^4=1\cdot 1^4+4\cdot 1^3\cdot 3x+6\cdot 1^2\cdot (3x{)}^2+4\cdot 1^1\cdot (3x{)}^3+1\cdot 1^0\cdot (3x{)}^4$$$$=1+12x+54x^2+108x^3+81x^4$$

Ответ:
Мы ищем значение при $x^3$, которое будет равно 108.

б) $P(x)=(3-2x{)}^5$

Определение разложения:
Для выражения $(3-2x{)}^5$ разложим его по формуле бинома Ньютона:

$$(3-2x{)}^5=C_5^0\cdot 3^5+C_5^1\cdot 3^4\cdot (-2x)+C_5^2\cdot 3^3\cdot (-2x{)}^2+C_5^3\cdot 3^2\cdot (-2x{)}^3+$$

$$+C_5^4\cdot 3^1\cdot (-2x{)}^4+C_5^5\cdot (-2x{)}^5$$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Мы можем вычислить биномиальные коэффициенты $C_5^k$ с помощью формулы:

$$C_5^0=\frac{5!}{0!(5-0)!}=1$$$$C_5^1=\frac{5!}{1!(5-1)!}=5$$$$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$$$$C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10$$$$C_5^4=\frac{5!}{4!(5-4)!}=5$$$$C_5^5=\frac{5!}{5!(5-5)!}=1$$

Разложение:
Подставляем коэффициенты и степени $(-2x)$:

$$(3-2x{)}^5=1\cdot 3^5+5\cdot 3^4\cdot (-2x)+10\cdot 3^3\cdot (-2x{)}^2+10\cdot 3^2\cdot (-2x{)}^3+$$

$$+5\cdot 3^1\cdot (-2x{)}^4+1\cdot (-2x{)}^5$$

$$=243-5\cdot 81\cdot 2x+10\cdot 27\cdot 4x^2-10\cdot 9\cdot 8x^3+5\cdot 3\cdot 16x^4-32x^5$$

$$=243-810x+1080x^2-720x^3+240x^4-32x^5$$

Ответ:
Мы ищем значение при $x^3$, которое будет равно -720.

в) $P(x)=(x+2{)}^5-(2x+1{)}^4$

Определение разложения:
Для выражения $(x+2{)}^5$ разложим его по формуле бинома Ньютона:

$$(x+2{)}^5=C_5^0\cdot x^5+C_5^1\cdot x^4\cdot 2+C_5^2\cdot x^3\cdot 2^2+C_5^3\cdot x^2\cdot 2^3+C_5^4\cdot x^1\cdot 2^4+C_5^5\cdot 2^5$$

Для выражения $(2x+1{)}^4$ разложим его аналогично:

$$(2x+1{)}^4=C_4^0\cdot (2x{)}^4+C_4^1\cdot (2x{)}^3\cdot 1+C_4^2\cdot (2x{)}^2\cdot 1^2+C_4^3\cdot (2x{)}^1\cdot 1^3+C_4^4\cdot 1^4$$

Вычисление биномиальных коэффициентов:
Для $(x+2{)}^5$:

$$C_5^0=1,C_5^1=5,C_5^2=10,C_5^3=10,C_5^4=5,C_5^5=1$$

Для $(2x+1{)}^4$:

$$C_4^0=1,C_4^1=4,C_4^2=6,C_4^3=4,C_4^4=1$$

Разложение:
Подставляем биномиальные коэффициенты и вычисляем степень $x^3$ для обоих выражений:

$$(x+2{)}^5=x^5+5x^4\cdot 2+10x^3\cdot 4+10x^2\cdot 8+5x\cdot 16+32$$$$(2x+1{)}^4=(2x{)}^4+4(2x{)}^3+6(2x{)}^2+4(2x)+1$$

Выражаем и считаем разность для $x^3$:

$$10x^3\cdot 4-4\cdot 8x^3=40x^3-32x^3=8x^3$$

Ответ:
Ответ: $8$.

г) $P(x)=(x^2-x{)}^4+{(3-\frac{x}{3})}^4$

Определение разложения:
Разложим оба выражения по формуле бинома Ньютона:

$$(x^2-x{)}^4=C_4^0\cdot (x^2{)}^4+C_4^1\cdot (x^2{)}^3\cdot (-x)+C_4^2\cdot (x^2{)}^2\cdot (-x{)}^2+$$

$$+C_4^3\cdot x^2\cdot (-x{)}^3+C_4^4\cdot x^4$$

$${(3-\frac{x}{3})}^4=C_4^0\cdot 3^4+C_4^1\cdot 3^3\cdot (-\frac{x}{3})+C_4^2\cdot 3^2\cdot {(-\frac{x}{3})}^2+$$

$$+C_4^3\cdot 3\cdot {(-\frac{x}{3})}^3+C_4^4\cdot {(-\frac{x}{3})}^4$$

Вычисление биномиальных коэффициентов:

$$C_4^k\text{ для обоих выражений: }{C}_4^0=1,C_4^1=4,C_4^2=6,C_4^3=4,C_4^4=1$$

Разложение:
При вычислении степени $x^3$ для второго выражения получаем:

$$C_4^3\cdot 3\cdot {(-\frac{x}{3})}^3=4\cdot 3\cdot (-\frac{x^3}{27})=\frac{-4x^3}{9}$$

Ответ:
Ответ: $-\frac{4}{9}$.