ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Формула бинома Ньютона:

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n;$$

Видим закономерность для $k$-го члена:

$$C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k;$$

а) $\left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^6 = \cdots + C_6^4 \cdot (2x^2)^2 \cdot \frac{1}{x^4} + \cdots;$

$$C_6^4 = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!} = \frac{30}{2} = 15;$$ $$C_6^4 \cdot (2x^2)^2 \cdot \frac{1}{x^4} = 15 \cdot 4x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 60;$$

Ответ: 60.

б) $\left(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{4}{3}}\right)^5 = \cdots + C_5^1 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^4 \cdot \left(x^{-\frac{4}{3}}\right)^1 + \cdots;$

$$C_5^1 = \frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5;$$ $$C_5^1 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^4 \cdot \left(x^{-\frac{4}{3}}\right)^1 = 5 \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{-\frac{4}{3}} = 5;$$

Ответ: 5.

в) $\left(3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^9 = \left(3a^{\frac{1}{4}} + a^{-\frac{2}{4}}\right)^9 = \cdots + C_9^3 \cdot \left(3a^{\frac{1}{4}}\right)^6 \cdot \left(a^{-\frac{2}{4}}\right)^3 + \cdots;$

$$C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$C_9^6 \cdot \left(3a^{\frac{1}{4}}\right)^6 \cdot \left(a^{-\frac{2}{4}}\right)^3 = 84 \cdot 729a^{\frac{6}{4}} \cdot a^{-\frac{6}{4}} = 61236;$$

Ответ: 61236.

г) $\left(x^{0,75} + x^{-\frac{2}{3}}\right)^{17} = \left(x^{\frac{9}{12}} + x^{-\frac{8}{12}}\right)^{17} = \cdots + C_{17}^9 \cdot \left(x^{\frac{9}{12}}\right)^8 \cdot \left(x^{-\frac{8}{12}}\right)^9 + \cdots;$

$$C_{17}^9 = \frac{17!}{9! \cdot (17-9)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} =$$ $$= 17 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 5 \cdot \frac{1}{6} = 24310;$$ $$C_{17}^9 \cdot \left(x^{\frac{9}{12}}\right)^8 \cdot \left(x^{-\frac{8}{12}}\right)^9 = 24310 \cdot x^{\frac{72}{12}} \cdot x^{-\frac{72}{12}} = 24310;$$

Ответ: 24310.

Формула бинома Ньютона — это способ разложения выражений вида $(a + b)^n$ в сумму с учетом биномиальных коэффициентов $C_n^k$:

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n;$$

Здесь $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые могут быть вычислены по формуле:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!},$$

где $n!$ — факториал числа $n$, который равен произведению всех целых чисел от 1 до $n$.

Задание 2: Вид закономерности для $k$-го члена

Каждый член разложения можно записать в следующем виде:

$$C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k.$$

Здесь для каждого $k$-го члена биномиального разложения:

• $C_n^k$ — биномиальный коэффициент,
• $a^{n-k}$ — степень $a$,
• $b^k$ — степень $b$.

Разбор конкретных примеров

а) $\left( 2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6$

Мы разлагаем выражение $\left( 2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6$ с помощью бинома Ньютона, используя формулу:

$$(a + b)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 b + C_6^2 a^4 b^2 + \cdots + C_6^6 b^6,$$

где $a = 2x^2$ и $b = \frac{1}{x}$.

Для поиска одного конкретного члена в разложении, например, для $k = 4$, мы применяем формулу для $k$-го члена:

$$C_6^4 \cdot (2x^2)^2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^4.$$

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^4$:

$$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!} = \frac{30}{2} = 15.$$

2. Вычислим выражение для $(2x^2)^2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^4$:

$$(2x^2)^2 = 4x^4 \quad \text{и} \quad \left( \frac{1}{x} \right)^4 = \frac{1}{x^4}.$$

Таким образом,

$$(2x^2)^2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^4 = 4x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 4.$$

3. Перемножаем все компоненты:

$$C_6^4 \cdot (2x^2)^2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^4 = 15 \cdot 4 = 60.$$

Ответ: 60.

б) $\left( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{4}{3}} \right)^5$

Мы разлагаем выражение $\left( x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{4}{3}} \right)^5$ с помощью бинома Ньютона.

Для $k = 1$ в разложении:

$$C_5^1 \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^4 \cdot \left( x^{-\frac{4}{3}} \right)^1.$$

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^1$:

$$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5.$$

2. Вычислим выражение для $\left( x^{\frac{1}{3}} \right)^4 \cdot \left( x^{-\frac{4}{3}} \right)^1$:

$$\left( x^{\frac{1}{3}} \right)^4 = x^{\frac{4}{3}} \quad \text{и} \quad \left( x^{-\frac{4}{3}} \right)^1 = x^{-\frac{4}{3}}.$$

Таким образом,

$$x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{-\frac{4}{3}} = x^0 = 1.$$

3. Перемножаем все компоненты:

$$C_5^1 \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^4 \cdot \left( x^{-\frac{4}{3}} \right)^1 = 5 \cdot 1 = 5.$$

Ответ: 5.

в) $\left( 3\sqrt[4]{a} + \frac{1}{\sqrt[4]{a}} \right)^9$

Мы разлагаем выражение $\left( 3a^{\frac{1}{4}} + a^{-\frac{2}{4}} \right)^9$ с помощью бинома Ньютона.

Для $k = 3$ в разложении:

$$C_9^3 \cdot \left( 3a^{\frac{1}{4}} \right)^6 \cdot \left( a^{-\frac{2}{4}} \right)^3.$$

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_9^3$:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84.$$

2. Вычислим выражение для $\left( 3a^{\frac{1}{4}} \right)^6 \cdot \left( a^{-\frac{2}{4}} \right)^3$:

$$\left( 3a^{\frac{1}{4}} \right)^6 = 3^6 \cdot a^{\frac{6}{4}} = 729a^{\frac{6}{4}} \quad \text{и} \quad \left( a^{-\frac{2}{4}} \right)^3 = a^{-\frac{6}{4}}.$$

Таким образом,

$$a^{\frac{6}{4}} \cdot a^{-\frac{6}{4}} = a^0 = 1.$$

3. Перемножаем все компоненты:

$$C_9^3 \cdot \left( 3a^{\frac{1}{4}} \right)^6 \cdot \left( a^{-\frac{2}{4}} \right)^3 = 84 \cdot 729 = 61236.$$

Ответ: 61236.

г) $\left( x^{0.75} + x^{-\frac{2}{3}} \right)^{17}$

Мы разлагаем выражение $\left( x^{\frac{9}{12}} + x^{-\frac{8}{12}} \right)^{17}$ с помощью бинома Ньютона.

Для $k = 9$ в разложении:

$$C_{17}^9 \cdot \left( x^{\frac{9}{12}} \right)^8 \cdot \left( x^{-\frac{8}{12}} \right)^9.$$

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C_{17}^9$:

$$C_{17}^9 = \frac{17!}{9!(17-9)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 24310.$$

2. Вычислим выражение для $\left( x^{\frac{9}{12}} \right)^8 \cdot \left( x^{-\frac{8}{12}} \right)^9$:

$$\left( x^{\frac{9}{12}} \right)^8 = x^{\frac{72}{12}} = x^6 \quad \text{и} \quad \left( x^{-\frac{8}{12}} \right)^9 = x^{-\frac{72}{12}} = x^{-6}.$$

Таким образом,

$$x^6 \cdot x^{-6} = x^0 = 1.$$

3. Перемножаем все компоненты:

$$C_{17}^9 \cdot \left( x^{\frac{9}{12}} \right)^8 \cdot \left( x^{-\frac{8}{12}} \right)^9 = 24310 \cdot 1 = 24310.$$

Ответ: 24310.