ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $A_{10}^3$

б) $A_8^5$

в) $A_{20}^2$

г) $A_{100}^1$

а) $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$;

б) $A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720$;

в) $A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!} = 20 \cdot 19 = 380$;

г) $A_{100}^1 = \frac{100!}{(100-1)!} = \frac{100 \cdot 99!}{99!} = 100$.

а) $A_{10}^3$

Формула для вычисления перестановок выглядит следующим образом:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Где:

• $n$ — общее количество элементов,
• $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

В нашем случае $n = 10$, а $k = 3$.

Подставим значения в формулу:

$$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$$

Теперь развернем факториал 10!:

$$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$$

Видно, что $7!$ можно сократить с числителем и знаменателем:

$$A_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8$$

Теперь выполняем умножение:

$$10 \cdot 9 = 90$$ $$90 \cdot 8 = 720$$

Ответ:

$$A_{10}^3 = 720$$

б) $A_8^5$

Используем ту же формулу для перестановок:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Подставим $n = 8$ и $k = 5$:

$$A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!}$$

Теперь развернем факториал 8!:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!$$

Поскольку в числителе и знаменателе есть $3!$, его можно сократить:

$$A_8^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$$

Теперь произведем умножение шаг за шагом:

$$8 \cdot 7 = 56$$ $$56 \cdot 6 = 336$$ $$336 \cdot 5 = 1680$$ $$1680 \cdot 4 = 6720$$

Ответ:

$$A_8^5 = 6720$$

в) $A_{20}^2$

Используем формулу для перестановок:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Подставим $n = 20$ и $k = 2$:

$$A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!}$$

Развернем факториал 20!:

$$20! = 20 \cdot 19 \cdot 18!$$

Сократим $18!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{20}^2 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!} = 20 \cdot 19$$

Теперь умножим:

$$20 \cdot 19 = 380$$

Ответ:

$$A_{20}^2 = 380$$

г) $A_{100}^1$

Используем формулу для перестановок:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Подставим $n = 100$ и $k = 1$:

$$A_{100}^1 = \frac{100!}{(100-1)!} = \frac{100!}{99!}$$

Развернем факториал 100!:

$$100! = 100 \cdot 99!$$

Сократим $99!$ в числителе и знаменателе:

$$A_{100}^1 = \frac{100 \cdot 99!}{99!} = 100$$

Ответ:

$$A_{100}^1 = 100$$

Итоговые результаты:

а) $A_{10}^3 = 720$

б) $A_8^5 = 6720$

в) $A_{20}^2 = 380$

г) $A_{100}^1 = 100$