ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $C_{27}^2 — C_{26}^2 = \frac{27!}{2! \cdot (27-2)!} — \frac{26!}{2! \cdot (26-2)!} = \frac{27 \cdot 26 \cdot 25!}{2 \cdot 25!} — \frac{26 \cdot 25 \cdot 24!}{2 \cdot 24!} =$

$= 27 \cdot 13 — 13 \cdot 25 = 351 — 325 = 26;$

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{8!}{(8-6)!} : \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{8!}{2!} \cdot \frac{8!}{10!} = \frac{8! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8!} =$

$= \frac{20160}{90} = 224;$

в) $C_{11}^5 + C_{11}^6 = \frac{11!}{5! \cdot (11-5)!} + \frac{11!}{6! \cdot (11-6)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6!} \cdot 2 =$

$= 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 924;$

г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = \frac{10!}{(10-3)!} : \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10! \cdot 3! \cdot 7!}{7! \cdot 10!} = 3! = 3 \cdot 2 = 6;$$C_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} : \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10! \cdot 3! \cdot 7!}{7! \cdot 10!} = 3! = 3 \cdot 2 = 6$

а) $C_{27}^2 — C_{26}^2$

Задача требует вычислить разницу двух биномиальных коэффициентов:

$$C_{27}^2 — C_{26}^2$$

Раскроем биномиальные коэффициенты. По определению биномиальный коэффициент:

$$C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для $C_{27}^2$:

$$C_{27}^2 = \frac{27!}{2! \cdot (27-2)!} = \frac{27!}{2! \cdot 25!}$$

Для $C_{26}^2$:

$$C_{26}^2 = \frac{26!}{2! \cdot (26-2)!} = \frac{26!}{2! \cdot 24!}$$

Упростим выражения.

Для $C_{27}^2$:

$$C_{27}^2 = \frac{27 \cdot 26 \cdot 25!}{2 \cdot 25!} = \frac{27 \cdot 26}{2} = 27 \cdot 13 = 351$$

Для $C_{26}^2$:

$$C_{26}^2 = \frac{26 \cdot 25 \cdot 24!}{2 \cdot 24!} = \frac{26 \cdot 25}{2} = 13 \cdot 25 = 325$$

Вычитаем полученные значения:

$$C_{27}^2 — C_{26}^2 = 351 — 325 = 26$$

Таким образом, результат:

$$C_{27}^2 — C_{26}^2 = 26$$

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$

Нам нужно вычислить отношение двух перестановок:

$$\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$$

Раскроем формулы для перестановок. Формула для перестановки $A_n^k$ имеет вид:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Для $A_8^6$:

$$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!}$$

Для $A_{10}^2$:

$$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!}$$

Подставим и упростим:

$$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{\frac{8!}{2!}}{\frac{10!}{8!}} = \frac{8!}{2!} \cdot \frac{8!}{10!}$$ $$= \frac{8! \cdot 8!}{2! \cdot 10!}$$

Упростим факториалы. Заметим, что $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$. Подставим это:

$$\frac{8! \cdot 8!}{2! \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{8!}{2! \cdot 10 \cdot 9}$$

Вычислим:

$$8! = 40320$$ $$2! = 2$$ $$\frac{40320}{2 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{40320}{180} = 224$$

Таким образом, результат:

$$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = 224$$

в) $C_{11}^5 + C_{11}^6$

Нужно найти сумму двух биномиальных коэффициентов:

$$C_{11}^5 + C_{11}^6$$

Раскроем биномиальные коэффициенты.

Для $C_{11}^5$:

$$C_{11}^5 = \frac{11!}{5! \cdot (11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!}$$

Для $C_{11}^6$:

$$C_{11}^6 = \frac{11!}{6! \cdot (11-6)!} = \frac{11!}{6! \cdot 5!}$$

Упростим выражения. Обе дроби имеют общий фактор $6!$, так что можно вынести его:

$$C_{11}^5 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ $$C_{11}^6 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Вычитаем и складываем значения:

Для $C_{11}^5$:

$$C_{11}^5 = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 / 120 = 462$$

Для $C_{11}^6$:

$$C_{11}^6 = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 / 720 = 462$$ $$C_{11}^5 + C_{11}^6 = 462 + 462 = 924$$

Таким образом, результат:

$$C_{11}^5 + C_{11}^6 = 924$$

г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$

Нужно найти отношение перестановки и биномиального коэффициента:

$$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$$

Раскроем формулы для перестановки и биномиального коэффициента:

Для $A_{10}^3$:

$$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$$

Для $C_{10}^3$:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}$$

Упростим выражения:

$$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = \frac{\frac{10!}{7!}}{\frac{10!}{3! \cdot 7!}} = \frac{10!}{7!} \cdot \frac{3! \cdot 7!}{10!}$$

Упростим факториалы:

$$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = 3!$$

Вычислим $3!$:

$$3! = 3 \cdot 2 = 6$$

Таким образом, результат:

$$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = 6$$