ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каждый из $N(A \cup B) = 30$ учеников умный или красивый;

Красивых учеников $N(A) = 26$, а умных $N(B) = 24$;

Учеников ростом выше 180 см всего $N(C) = 14$;

а) Гарантированное количество умных и красивых учеников, рост которых больше 180 см:

$$N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B) = 26 + 24 — 30 = 20;$$ $$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) = 30;$$ $$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C) = 20 + 14 — 30 = 4;$$

б) То же, но если известно, что все умные, но не красивые, ниже 180 см:

$$B = N(B) — N(A \cap B) = 24 — 20 = 4;$$ $$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) — B = 30 — 4 = 26;$$ $$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C) = 20 + 14 — 26 = 8;$$

в) То же, но если известно, что все красивые, но не умные, выше 180 см:

$$A = N(A) — N(A \cap B) = 26 — 20 = 6;$$ $$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) — A = 30 — 6 = 24;$$ $$N(C) = N(C) — A = 14 — 6 = 8;$$ $$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C) = 20 + 8 — 24 = 4;$$

г) То же, но если известно, что 12 умных ростом выше 180 см:

$$N(B \cap C) = 12;$$ $$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) = 30;$$ $$N(A \cap B \cap C) = N(B \cap C) + N(A) — N(A \cup B \cup C) = 12 + 26 — 30 = 8;$$

Ответ: а) 4; б) 8; в) 4; г) 8.

Дано:

• $N(A \cup B) = 30$ — общее количество учеников (каждый из них либо умный, либо красивый);
• $N(A) = 26$ — количество красивых учеников;
• $N(B) = 24$ — количество умных учеников;
• $N(C) = 14$ — количество учеников с ростом выше 180 см.

Необходимо найти ответ на каждый из четырех пунктов.

a) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?

Шаг 1: Найдем количество учеников, которые одновременно умные и красивые

Для начала определим количество учеников, которые являются одновременно умными и красивыми. Это можно найти по формуле для объединения двух множеств:

$$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)$$

Из задачи известно, что $N(A \cup B) = 30$, $N(A) = 26$, и $N(B) = 24$. Подставляем эти значения в формулу:

$$30 = 26 + 24 — N(A \cap B)$$

Отсюда:

$$N(A \cap B) = 26 + 24 — 30 = 20$$

Таким образом, 20 учеников одновременно и умные, и красивые.

Шаг 2: Определим количество учеников, которые одновременно умные, красивые и выше 180 см

Теперь мы знаем, что среди 30 учеников 20 являются одновременно умными и красивыми. Следовательно, можно подсчитать, сколько из этих 20 учеников имеют рост выше 180 см. Для этого применим принцип включений-исключений.

$$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) = 30$$

Это означает, что все 30 учеников делятся на три группы: те, кто только умные, только красивые, и те, кто одновременно и умные, и красивые, и ростом выше 180 см.

Теперь для поиска количества учеников, которые одновременно и умные, и красивые, и ростом выше 180 см, используем формулу для трех множеств:

$$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C)$$

Подставляем известные значения:

$$N(A \cap B \cap C) = 20 + 14 — 30 = 4$$

Ответ на пункт a: Гарантированно 4 ученика являются одновременно умными, красивыми и выше 180 см.

б) Каков ответ в пункте a), если известно, что все умные, но не красивые, — ростом ниже 180 см?

Шаг 1: Вычитаем из умных тех, кто не является красивыми

Если все умные, но не красивые ученики ниже 180 см, то это означает, что все 4 ученика, которые являются умными, но не красивыми, имеют рост ниже 180 см. Таким образом, все умные, но не красивые ученики не могут входить в группу с ростом выше 180 см.

Итак, среди умных учеников, остаются только те, кто одновременно и умные, и красивые.

Шаг 2: Пересчитываем количество учеников, одновременно умных и красивых с ростом выше 180 см

Теперь, зная, что все умные, но не красивые ученики ниже 180 см, мы можем пересчитать количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые и выше 180 см. Мы можем сделать это по той же формуле для трех множеств:

$$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C)$$

Однако теперь $N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) — B = 30 — 4 = 26$, где $B = 4$ — это количество умных, но не красивых учеников, ростом ниже 180 см.

Теперь подставляем:

$$N(A \cap B \cap C) = 20 + 14 — 26 = 8$$

Ответ на пункт б: Если все умные, но не красивые, ниже 180 см, то 8 учеников одновременно умные, красивые и выше 180 см.

в) Каков ответ в пункте a), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см?

Шаг 1: Вычитаем из красивых тех, кто не является умными

Если все красивые, но не умные ученики выше 180 см, то это означает, что все 6 учеников, которые являются красивыми, но не умными, имеют рост выше 180 см. Таким образом, среди красивых учеников, только те, кто одновременно и красивые, и умные, могут быть ниже 180 см.

Шаг 2: Пересчитываем количество учеников, одновременно умных и красивых с ростом выше 180 см

Теперь, зная, что все красивые, но не умные ученики выше 180 см, мы пересчитаем количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые, и выше 180 см. Для этого, используем аналогичную формулу, но с учетом, что 6 красивых учеников выше 180 см:

$$N(C) = 14 — 6 = 8$$

Теперь пересчитываем:

$$N(A \cap B \cap C) = N(A \cap B) + N(C) — N(A \cup B \cup C)$$ $$N(A \cup B \cup C) = N(A \cup B) — A = 30 — 6 = 24$$

Теперь подставляем:

$$N(A \cap B \cap C) = 20 + 8 — 24 = 4$$

Ответ на пункт в: Если все красивые, но не умные, выше 180 см, то 4 ученика одновременно умные, красивые и выше 180 см.

г) Каков ответ в пункте a), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?

Шаг 1: Определяем количество умных с ростом выше 180 см

Если известно, что 12 умных учеников ростом выше 180 см, то это означает, что 12 из 24 умных учеников входят в группу $B \cap C$.

Шаг 2: Пересчитываем количество учеников, одновременно умных, красивых и выше 180 см

Теперь, для нахождения количества учеников, которые одновременно умные, красивые и выше 180 см, мы можем использовать следующую формулу:

$$N(A \cap B \cap C) = N(B \cap C) + N(A) — N(A \cup B \cup C)$$

Подставляем значения:

$$N(A \cup B \cup C) = 30$$ $$N(A \cap B \cap C) = 12 + 26 — 30 = 8$$

Ответ на пункт г: Если известно, что 12 умных учеников ростом выше 180 см, то 8 учеников одновременно умные, красивые и выше 180 см.

Итоговые ответы:

а) 4;

б) 8;

в) 4;

г) 8.