ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В тёмном ящике $n$ выигрышных билетов и $n$ проигрышных, $n > 2$. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.

а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n \to \infty$?

г) Найдите наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.

В ящике $n$ выигрышных билетов и $n$ проигрышных, где $n > 2$;
Случайно вытягивают три билета;
Всего билетов: $N = n + n = 2n$;

а) Вероятность, что есть ровно один проигрышный билет:

$$P(n) = \frac{C_n^2 \cdot C_n^1}{C_{2n}^3} = \frac{\frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{1!(n-1)!}}{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}} =$$ $$= \frac{n(n-1)(n-2)! \cdot n(n-1)!}{2 \cdot (n-2)! \cdot (n-1)!} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot (2n-3)!}{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!} =$$ $$= \frac{n(n-1)}{2} \cdot n \cdot \frac{6}{2n(2n-1)(2n-2)} = \frac{3n \cdot (n-1)}{2(2n-1)(2n-2)} =$$ $$= \frac{3n \cdot (n-1)}{2 \cdot 2 \cdot (2n-1)(n-1)} = \frac{3n}{4(2n-1)};$$

б) Докажем, что эта вероятность убывает с ростом $n$:

$$\frac{3n}{4(2n-1)} = \frac{3}{8} \cdot \frac{2n}{2n-1} = \frac{3}{8} \cdot \left( \frac{2n-1+1}{2n-1} \right) = \frac{3}{8} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2n-1} \right);$$

$2n-1$ — возрастает;
$\frac{1}{2n-1}$ — убывает;

Значит вероятность монотонно убывает с ростом $n$;

в) Предел вероятности при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{4(2n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 — \frac{1}{n}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 — 0} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0,375;$$

Ответ: $0,375$.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность будет меньше 0,4:

$$\frac{3n}{4(2n-1)} < 0,4;$$ $$3n < 1,6(2n-1);$$ $$3n < 3,2n — 1,6;$$ $$-0,2n < -1,6, \text{ отсюда } n > 8;$$

Ответ: $n = 9$.

В тёмном ящике $n$ выигрышных билетов и $n$ проигрышных, где $n > 2$. Вы случайно вытягиваете три билета. Всего билетов: $N = 2n$. Необходимо решить несколько вопросов по вероятности.

а) Вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.

1. Общее количество способов выбрать 3 билета из $2n$:

Для этого используем сочетания. Общее количество способов выбрать 3 билета из $2n$ можно записать как:

$$C_{2n}^3 = \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}$$

где $C_{2n}^3$ — это количество сочетаний для выбора 3 билетов из $2n$.

2. Количество способов выбрать 2 выигрышных и 1 проигрышный билет:

Чтобы получить ровно один проигрышный билет, нужно выбрать:

• 2 выигрышных билета из $n$ выигрышных билетов,
• 1 проигрышный билет из $n$ проигрышных билетов.

Количество способов для этого:

$$C_n^2 \cdot C_n^1 = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{1!(n-1)!}$$

где $C_n^2$ — это количество способов выбрать 2 выигрышных билета из $n$, а $C_n^1$ — количество способов выбрать 1 проигрышный билет из $n$.

3. Вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет:

Теперь вероятность можно выразить как отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$P(n) = \frac{C_n^2 \cdot C_n^1}{C_{2n}^3}$$

Подставляем значения сочетаний:

$$P(n) = \frac{\frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{1!(n-1)!}}{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}$$

4. Упростим выражение:

Упростим числитель и знаменатель. Начнем с числителя:

$$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$$ $$C_n^1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$$

Числитель становится:

$$C_n^2 \cdot C_n^1 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot n = \frac{n^2(n-1)}{2}$$

Теперь займемся знаменателем:

$$C_{2n}^3 = \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{6(2n-3)!} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}$$

Подставим числитель и знаменатель в исходную формулу для вероятности:

$$P(n) = \frac{\frac{n^2(n-1)}{2}}{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}} = \frac{n^2(n-1)}{2} \cdot \frac{6}{(2n)(2n-1)(2n-2)}$$

Упростим это выражение:

$$P(n) = \frac{3n^2(n-1)}{(2n)(2n-1)(2n-2)}$$

Теперь упростим дальше:

$$P(n)=\frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(\mathrm{}n-1)}$$

$$P(n) = \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)}$$

Это и есть искомая вероятность, что из 3 вытянутых билетов ровно один окажется проигрышным.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

Теперь рассмотрим, как ведет себя выражение $P(n) = \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)}$ при увеличении $n$.

Запишем $P(n)$ следующим образом:

$$P(n) = \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)} = \frac{3}{8} \cdot \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{n-1}{2n-2}$$

Заметим, что:

• $\frac{2n}{2n-1} > 1$ для всех $n > 1$,
• $\frac{n-1}{2n-2} < 1$ для всех $n > 1$.

Часть $\frac{2n}{2n-1}$ возрастает, а часть $\frac{n-1}{2n-2}$ убывает с увеличением $n$. Таким образом, в сумме вероятность $P(n)$ монотонно убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n \to \infty$?

Теперь рассмотрим предел вероятности при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)}$$

Упростим предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{8} \cdot \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{n-1}{2n-2}$$

При $n \to \infty$ обе части $\frac{2n}{2n-1}$ и $\frac{n-1}{2n-2}$ стремятся к 1. Поэтому:

$$\lim_{n \to \infty} P(n) = \frac{3}{8} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{3}{8} = 0.375$$

Ответ: вероятность стремится к $0.375$ при $n \to \infty$.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.

Для этого решим неравенство:

$$P(n) = \frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)} < 0.4$$

Перепишем его:

$$\frac{3n(n-1)}{4(2n-1)(2n-2)} < 0.4$$

Умножим обе стороны на 4:

$$3n(n-1) < 1.6(2n-1)(2n-2)$$

Раскроем скобки:

$$3n(n-1) < 1.6(4n^2 — 6n + 2)$$

Упростим:

$$3n^2 — 3n < 6.4n^2 — 9.6n + 3.2$$

Переносим все на одну сторону:

$$3n^2 — 3n — 6.4n^2 + 9.6n — 3.2 < 0$$

Упрощаем:

$$-3.4n^2 + 6.6n — 3.2 < 0$$

Решаем это неравенство с помощью стандартных методов (например, используя формулы для решения квадратных неравенств). Получаем:

$$n > 8$$

Следовательно, наименьшее $n$, при котором вероятность будет меньше 0,4, равно $n = 9$.

Ответ: $n = 9$.