ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{\pi^2 — 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi — 4)^2} = |\pi — 4| = -(π — 4) = 4 — π;$
$π ≈ 3,13;$
$π < 4;$
$π — 4 < 0;$
Ответ: $4 — π.$

б) $\sqrt{(2 — \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 — \sqrt{5})^2} = |2 — \sqrt{5}| + |3 — \sqrt{5}| =$
$= -(2 — \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5}) = \sqrt{5} — 2 + 3 — \sqrt{5} = 1;$
$4 < 5;$
$9 > 5;$
$2 < \sqrt{5};$
$3 > \sqrt{5};$
$2 — \sqrt{5} < 0;$
$3 — \sqrt{5} > 0;$
Ответ: $1.$

в) $\sqrt{4π^2 — 28π + 49} = \sqrt{(2π — 7)^2} = |2π — 7| = -(2π — 7) = 7 — 2π;$
$π ≈ 3,14;$
$2π ≈ 6,28;$
$2π < 7;$
$2π — 7 < 0;$
Ответ: $7 — 2π.$

г) $\sqrt{(2,7 — \sqrt{7})^2} — \sqrt{(2,6 — \sqrt{7})^2} = |2,7 — \sqrt{7}| — |2,6 — \sqrt{7}| =$
$= (2,7 — \sqrt{7}) + (2,6 — \sqrt{7}) = 2,7 — \sqrt{7} + 2,6 — \sqrt{7} = 5,3 — 2\sqrt{7};$
$676 < 700 < 729;$
$26 < \sqrt{700} < 27;$
$2,6 < \sqrt{7} < 2,7;$
$2,6 — \sqrt{7} < 0;$
$2,7 — \sqrt{7} > 0;$
Ответ: $5,3 — 2\sqrt{7}.$

а) $\sqrt{\pi^2 — 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi — 4)^2} = |\pi — 4| = -(π — 4) = 4 — π;$

Шаг 1: Рассмотрим исходное выражение.

$$\sqrt{\pi^2 — 8\pi + 16}$$

Здесь мы видим квадратный корень, который содержит квадратный трёхчлен. Постараемся упростить его. Мы можем заметить, что выражение под корнем — это полный квадрат.

Шаг 2: Приведём выражение под корнем к виду полного квадрата.

Исходное выражение $\pi^2 — 8\pi + 16$ — это разложение на полный квадрат:

$$\pi^2 — 8\pi + 16 = (\pi — 4)^2.$$

Шаг 3: Подставим это в корень.

Теперь мы можем подставить это в исходное выражение:

$$\sqrt{\pi^2 — 8\pi + 16} = \sqrt{(\pi — 4)^2}.$$

Шаг 4: Применим свойство модуля.

Корень из квадрата числа равен его модулю. То есть:

$$\sqrt{(\pi — 4)^2} = |\pi — 4|.$$

Шаг 5: Определим знак модуля.

Поскольку $\pi \approx 3.13$, мы видим, что:

$$\pi < 4 \quad \text{и} \quad \pi — 4 < 0.$$

Таким образом, модуль $|\pi — 4|$ будет равен:

$$|\pi — 4| = -( \pi — 4 ) = 4 — \pi.$$

Ответ: $4 — \pi$.

б) $\sqrt{(2 — \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 — \sqrt{5})^2} = |2 — \sqrt{5}| + |3 — \sqrt{5}| =$

$= -(2 — \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5}) = \sqrt{5} — 2 + 3 — \sqrt{5} = 1;$

Шаг 1: Рассмотрим исходное выражение.

$$\sqrt{(2 — \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 — \sqrt{5})^2}.$$

Шаг 2: Используем свойство модуля.

Каждый из этих квадратных корней представляет собой модуль:

$$\sqrt{(2 — \sqrt{5})^2} = |2 — \sqrt{5}|, \quad \sqrt{(3 — \sqrt{5})^2} = |3 — \sqrt{5}|.$$

Таким образом, исходное выражение становится:

$$|2 — \sqrt{5}| + |3 — \sqrt{5}|.$$

Шаг 3: Оценим значения $2 — \sqrt{5}$ и $3 — \sqrt{5}$.

Мы знаем, что:

$$\sqrt{5} \approx 2.236.$$

Таким образом:

$$2 — \sqrt{5} \approx 2 — 2.236 = -0.236, \quad 3 — \sqrt{5} \approx 3 — 2.236 = 0.764.$$

Следовательно:

$$|2 — \sqrt{5}| = -(2 — \sqrt{5}) = \sqrt{5} — 2, \quad |3 — \sqrt{5}| = 3 — \sqrt{5}.$$

Шаг 4: Подставим и упростим.

Теперь подставляем эти выражения:

$$|2 — \sqrt{5}| + |3 — \sqrt{5}| = (\sqrt{5} — 2) + (3 — \sqrt{5}).$$

Упрощаем:

$$\sqrt{5} — 2 + 3 — \sqrt{5} = 1.$$

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{4\pi^2 — 28\pi + 49} = \sqrt{(2\pi — 7)^2} = |2\pi — 7| = -(2\pi — 7) = 7 — 2\pi;$

Шаг 1: Рассмотрим исходное выражение.

$$\sqrt{4\pi^2 — 28\pi + 49}.$$

Шаг 2: Приведём выражение под корнем к виду полного квадрата.

Мы видим, что $4\pi^2 — 28\pi + 49$ можно представить как полный квадрат:

$$4\pi^2 — 28\pi + 49 = (2\pi — 7)^2.$$

Шаг 3: Подставим это в корень.

Теперь подставляем:

$$\sqrt{4\pi^2 — 28\pi + 49} = \sqrt{(2\pi — 7)^2}.$$

Шаг 4: Применим свойство модуля.

Корень из квадрата числа равен его модулю:

$$\sqrt{(2\pi — 7)^2} = |2\pi — 7|.$$

Шаг 5: Определим знак модуля.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, то:

$$2\pi \approx 6.28, \quad 2\pi < 7, \quad 2\pi — 7 < 0.$$

Следовательно, модуль $|2\pi — 7|$ будет равен:

$$|2\pi — 7| = -(2\pi — 7) = 7 — 2\pi.$$

Ответ: $7 — 2\pi$.

г) $\sqrt{(2,7 — \sqrt{7})^2} — \sqrt{(2,6 — \sqrt{7})^2} = |2,7 — \sqrt{7}| — |2,6 — \sqrt{7}| =$

$= (2,7 — \sqrt{7}) + (2,6 — \sqrt{7}) = 2,7 — \sqrt{7} + 2,6 — \sqrt{7} = 5,3 — 2\sqrt{7};$

Шаг 1: Рассмотрим исходное выражение.

$$\sqrt{(2,7 — \sqrt{7})^2} — \sqrt{(2,6 — \sqrt{7})^2}.$$

Шаг 2: Используем свойство модуля.

Каждый из квадратных корней можно представить как модуль:

$$\sqrt{(2,7 — \sqrt{7})^2} = |2,7 — \sqrt{7}|, \quad \sqrt{(2,6 — \sqrt{7})^2} = |2,6 — \sqrt{7}|.$$

Таким образом, выражение становится:

$$|2,7 — \sqrt{7}| — |2,6 — \sqrt{7}|.$$

Шаг 3: Оценим значения $2,7 — \sqrt{7}$ и $2,6 — \sqrt{7}$.

Мы знаем, что:

$$\sqrt{7} \approx 2.646.$$

Таким образом:

$$2,7 — \sqrt{7} \approx 2,7 — 2,646 = 0,054, \quad 2,6 — \sqrt{7} \approx 2,6 — 2,646 = -0,046.$$

Следовательно:

$$|2,7 — \sqrt{7}| = 2,7 — \sqrt{7}, \quad |2,6 — \sqrt{7}| = -(2,6 — \sqrt{7}) = \sqrt{7} — 2,6.$$

Шаг 4: Подставим и упростим.

Теперь подставляем и упрощаем:

$$|2,7 — \sqrt{7}| — |2,6 — \sqrt{7}| = (2,7 — \sqrt{7}) + (2,6 — \sqrt{7}).$$

Упрощаем:

$$2,7 — \sqrt{7} + 2,6 — \sqrt{7} = 5,3 — 2\sqrt{7}.$$

Ответ: $5,3 — 2\sqrt{7}$.