ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) |х + 4| = 2x;

б) |х -14| = 8 + 2x;

в) |х² — 4x| = 3x;

г) |х² + 7х| = 4x + 10.

а) $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=2x$;

$$\sqrt{(x+4{)}^2}=2x;$$$$(x+4{)}^2=(2x{)}^2;$$$$x^2+8x+16=4x^2;$$$$3x^2-8x-16=0;$$$$D=8^2+4\cdot 3\cdot 16=64+192=256,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{8-16}{2\cdot 3}=\frac{-8}{6}\text{и}{x}_2=\frac{8+16}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4;$$

Уравнение имеет корни при:

$$2x\ge 0;$$$$x\ge 0;$$

Ответ: $x=4$.

б) $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }=8+2x$;

$$\sqrt{(x-14{)}^2}=8+2x;$$$$(x-14{)}^2=(8+2x{)}^2;$$$$x^2-28x+196=64+32x+4x^2;$$$$3x^2+60x-132=0;$$$$x^2+20x-44=0;$$$$D={20}^2+4\cdot 44=400+176=576,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-20-24}{2}=-22\text{и}{x}_2=\frac{-20+24}{2}=2;$$

Уравнение имеет корни при:

$$8+2x\ge 0;$$$$2x\ge -8;$$$$x\ge -4;$$

Ответ: $x=2$.

в) $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }=3x$;

$$\sqrt{(x(x-4){)}^2}=3x;$$$$(x(x-4){)}^2=(3x{)}^2;$$$$x^2(x-4{)}^2=9x^2;$$

Если $x\mathrm{\ne }0$, тогда:

$$(x-4{)}^2=9;$$$$x^2-8x+16=9;$$$$x^2-8x+7=0;$$$$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{8-6}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{8+6}{2}=7;$$

Если $x=0$, тогда:

$$\mathrm{\mid }{0}^2-4\cdot 0\mathrm{\mid }-3\cdot 0=\mathrm{\mid }0-0\mathrm{\mid }-0=0;$$

Уравнение имеет корни при:

$$3x\ge 0;$$$$x\ge 0;$$

Ответ: $x_1=0;x_2=1;x_3=7$.

г) $\mathrm{\mid }{x}^2+7x\mathrm{\mid }=4x+10$;

Выражение под знаком модуля:

$$x^2+7x\ge 0;$$$$(x+7)x\ge 0;$$$$x\le -7\text{и}x\ge 0;$$

Если $x\le -7$ или $x\ge 0$, тогда:

$$x^2+7x=4x+10;$$$$x^2+3x-10=0;$$$$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-3+7}{2}=2;$$

Если $-7<x<0$, тогда:

$$-(x^2+7x)=4x+10;$$$$x^2+11x+10=0;$$$$D={11}^2-4\cdot 10=121-40=81,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-11-9}{2}=-10\text{и}{x}_2=\frac{-11+9}{2}=-1;$$

Ответ: $x_1=-1;x_2=2$.

а) $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=2x$

Шаг 1: Разбор модульного уравнения.

Модульное уравнение $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=2x$ означает, что выражение $x+4$ может быть равно $2x$ или $-2x$. Это два возможных случая, так как $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$ или $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$.

Таким образом, у нас есть два случая:

$$x+4=2x\text{или}x+4=-2x\mathrm{.}$$

Шаг 2: Решение каждого случая.

1. Первый случай:
   $x+4=2x$,
   $4=x$,
   $x=4$.
2. Второй случай:
   $x+4=-2x$,
   $3x=-4$,
   $x=-\frac{4}{3}$.

Шаг 3: Проверка условий.

Для того чтобы уравнение $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=2x$ было верным, необходимо, чтобы $2x\ge 0$, то есть $x\ge 0$, потому что модуль всегда неотрицателен. Проверим оба найденных значения:

• Для $x=4$, $2\times 4=8\ge 0$, условие выполняется.
• Для $x=-\frac{4}{3}$, $2\times (-\frac{4}{3})=-\frac{8}{3}$, что меньше нуля. Это решение не подходит, так как оно не удовлетворяет условию $2x\ge 0$.

Шаг 4: Заключение.

Единственное решение, которое удовлетворяет условию $x\ge 0$, это $x=4$.

Ответ: $x=4$.

б) $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }=8+2x$

Шаг 1: Разбор модульного уравнения.

Уравнение $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }=8+2x$ имеет два случая:

1. $x-14=8+2x$,
2. $-(x-14)=8+2x$.

Шаг 2: Решение каждого случая.

1. Первый случай:
   $x-14=8+2x$,
   $x-2x=8+14$,
   $-x=22$,
   $x=-22$.
2. Второй случай:
   $-(x-14)=8+2x$,
   $-x+14=8+2x$,
   $-x-2x=8-14$,
   $-3x=-6$,
   $x=2$.

Шаг 3: Проверка условий.

Для того чтобы уравнение $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }=8+2x$ было верным, необходимо, чтобы $8+2x\ge 0$, то есть $2x\ge -8$, что означает $x\ge -4$.

• Для $x=-22$, $8+2(-22)=-36$, что меньше нуля. Это решение не удовлетворяет условию.
• Для $x=2$, $8+2(2)=12\ge 0$, условие выполняется.

Шаг 4: Заключение.

Единственное решение, которое удовлетворяет условию $x\ge -4$, это $x=2$.

Ответ: $x=2$.

в) $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }=3x$

Шаг 1: Разбор модульного уравнения.

Уравнение $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }=3x$ можно решить, рассматривая два случая:

1. $x^2-4x=3x$,
2. $-(x^2-4x)=3x$.

Шаг 2: Решение каждого случая.

1. Первый случай:
   $x^2-4x=3x$,
   $x^2-7x=0$,
   $x(x-7)=0$,
   $x=0$ или $x=7$.
2. Второй случай:
   $-(x^2-4x)=3x$,
   $-x^2+4x=3x$,
   $-x^2+x=0$,
   $x(-x+1)=0$,
   $x=0$ или $x=1$.

Шаг 3: Проверка условий.

Для того чтобы уравнение $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }=3x$ было верным, необходимо, чтобы $3x\ge 0$, то есть $x\ge 0$.

• Для $x=0$, $3(0)=0\ge 0$, условие выполняется.
• Для $x=7$, $3(7)=21\ge 0$, условие выполняется.
• Для $x=1$, $3(1)=3\ge 0$, условие выполняется.

Шаг 4: Заключение.

Все найденные решения удовлетворяют условию $x\ge 0$, и решения уравнения:

$$x=0,x=7,x=1.$$

Ответ: $x_1=0,x_2=7,x_3=1$.

г) $\mathrm{\mid }{x}^2+7x\mathrm{\mid }=4x+10$

Шаг 1: Разбор выражений под модулем.

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим два случая, основанных на знаке выражения под модулем:

1. $x^2+7x\ge 0$,
2. $x^2+7x<0$.

Шаг 2: Решение первого случая.

$x^2+7x\ge 0$,

$$x^2+7x=4x+10,$$$$x^2+3x-10=0,$$$$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$

Шаг 3: Решение второго случая.

$x^2+7x<0$,

$$-(x^2+7x)=4x+10,$$$$x^2+11x+10=0,$$$$D={11}^2-4\cdot 10=121-40=81,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-11-9}{2}=-10\text{и}{x}_2=\frac{-11+9}{2}=-1.$$

Шаг 4: Заключение.

Решения для $x^2+7x\ge 0$ и $x^2+7x<0$ совместимы с условиями, полученными на каждом этапе.

Ответ: $x_1=-1,x_2=2$.