ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) |х + 4| < 2x;

б) |x² — 4x| < 3х;

в) |х -14| < 8 + 2x;

г) |x² + 7x| < 4x + 10.

а) $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }<2x$

$$\sqrt{(x+4{)}^2}<2x;$$$$(x+4{)}^2<(2x{)}^2;$$$$x^2+8x+16<4x^2;$$$$3x^2-8x-16>0;$$$$D=8^2+4\cdot 3\cdot 16=64+192=256;$$$$x_1=\frac{8-16}{2\cdot 3}=\frac{-8}{6}\text{и}{x}_2=\frac{8+16}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4;$$$$(x+\frac{8}{6})(x-4)>0;$$$$x<-\frac{8}{6}\text{и}x>4;$$

Неравенство имеет решения при:

$$2x\ge 0;$$$$x\ge 0;$$

Ответ: $x>4$.

б) $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }<3x$

$$\sqrt{(x(x-4){)}^2}<3x;$$$$(x(x-4){)}^2<(3x{)}^2;$$$$x^2(x-4{)}^2<9x^2;$$

Если $x\mathrm{\ne }0$, тогда:

$$(x-4{)}^2<9;$$$$x^2-8x+16<9;$$$$x^2-8x+7<0;$$$$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36;$$$$x_1=\frac{8-6}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{8+6}{2}=7;$$$$(x-1)(x-7)<0;$$$$1<x<7;$$

Если $x=0$, тогда:

$$\mathrm{\mid }{0}^2-4\cdot 0\mathrm{\mid }-3\cdot 0=\mathrm{\mid }0-0\mathrm{\mid }-0=0;$$

Неравенство имеет решения при:

$$3x\ge 0;$$$$x\ge 0;$$

Ответ: $1<x<7$.

в) $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }\le 8+2x$

$$\sqrt{(x-14{)}^2}\le 8+2x;$$$$(x-14{)}^2\le (8+2x{)}^2;$$$$x^2-28x+196\le 64+32x+4x^2;$$$$3x^2+60x-132\ge 0;$$$$x^2+20x-44\ge 0;$$$$D={20}^2+4\cdot 44=400+176=576;$$$$x_1=\frac{-20-24}{2}=-22\text{и}{x}_2=\frac{-20+24}{2}=2;$$$$(x+22)(x-2)\ge 0;$$$$x\le -22\text{и}x\ge 2;$$

Неравенство имеет решения при:

$$8+2x\ge 0;$$$$2x\ge -8;$$$$x\ge -4;$$

Ответ: $x\ge 2$.

г) $\mathrm{\mid }{x}^2+7x\mathrm{\mid }\le 4x+10$

Выражение под знаком модуля:

$$x^2+7x\ge 0;$$$$(x+7)x\ge 0;$$$$x\le -7\text{и}x\ge 0;$$

Если $x\le -7$ или $x\ge 0$, тогда:

$$x^2+7x\le 4x+10;$$$$x^2+3x-10\le 0;$$$$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49;$$$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-3+7}{2}=2;$$$$(x+5)(x-2)\le 0;$$$$-5\le x\le 2;$$

Если $-7<x<0$, тогда:

$$-(x^2+7x)\le 4x+10;$$$$x^2+11x+10\ge 0;$$$$D={11}^2-4\cdot 10=121-40=81;$$$$x_1=\frac{-11-9}{2}=-10\text{и}{x}_2=\frac{-11+9}{2}=-1;$$$$(x+10)(x+1)\ge 0;$$$$x\le -10\text{и}x\ge -1;$$

Неравенство имеет решения при:

$$4x+10\ge 0;$$$$4x\ge -10;$$$$x\ge -2.5;$$

Ответ: $-1\le x\le 2$.

а) $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }<2x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Модульное неравенство $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }<2x$ означает, что выражение $x+4$ должно быть меньше $2x$ по модулю. Модуль в данном случае рассматривается как два возможных случая:

1. $x+4=2x$ — это когда выражение внутри модуля не меняет знак.
2. $-(x+4)=2x$ — это когда выражение внутри модуля меняет знак.

Шаг 2: Преобразование и решение для первого случая.

Первый случай: $x+4=2x$,

$$x+4=2x⟹4=x⟹x=4.$$

Это решение соответствует случаю, когда $x+4=2x$.

Шаг 3: Преобразование и решение для второго случая.

Второй случай: $-(x+4)=2x$,

$$-(x+4)=2x⟹-x-4=2x⟹-4=3x⟹x=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Это решение соответствует случаю, когда $x+4=-2x$.

Шаг 4: Преобразование исходного неравенства и его решение.

Теперь у нас есть два возможных значения $x=4$ и $x=-\frac{4}{3}$. Однако исходное неравенство требует, чтобы $2x>0$, что означает, что $x>0$. Следовательно, решение $x=-\frac{4}{3}$ не подходит, потому что оно нарушает условие $2x\ge 0$.

Шаг 5: Заключение.

Единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям, это:

$$x>4.$$

Ответ: $x>4$.

б) $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }<3x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Неравенство $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }<3x$ также имеет два случая:

1. $x^2-4x=3x$
2. $-(x^2-4x)=3x$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x^2-4x=3x$:

$$x^2-4x=3x⟹x^2-7x=0⟹x(x-7)=0.$$

Отсюда $x=0$ или $x=7$.

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $-(x^2-4x)=3x$:

$$-x^2+4x=3x⟹-x^2+x=0⟹x(x-1)=0.$$

Отсюда $x=0$ или $x=1$.

Шаг 4: Применение условий.

Так как мы рассматриваем модульное неравенство $\mathrm{\mid }{x}^2-4x\mathrm{\mid }<3x$, необходимо, чтобы $3x\ge 0$, то есть $x\ge 0$. Проверим полученные решения:

• $x=0$ подходит, так как $3(0)=0$.
• $x=7$ подходит, так как $3(7)=21\ge 0$.
• $x=1$ подходит, так как $3(1)=3\ge 0$.

Таким образом, решение $0\le x\le 7$ удовлетворяет условиям.

Шаг 5: Заключение.

Решения для этого неравенства:

$$1<x<7.$$

Ответ: $1<x<7$.

в) $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }\le 8+2x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Неравенство $\mathrm{\mid }x-14\mathrm{\mid }\le 8+2x$ имеет два случая:

1. $x-14=8+2x$
2. $-(x-14)=8+2x$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x-14=8+2x$:

$$x-14=8+2x⟹-x=22⟹x=-22.$$

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $-(x-14)=8+2x$:

$$-x+14=8+2x⟹-x-2x=-6⟹-3x=-6⟹x=2.$$

Шаг 4: Применение условий.

Для этого неравенства также необходимо, чтобы $8+2x\ge 0$, что означает $x\ge -4$.

• $x=-22$ не удовлетворяет этому условию, так как $-22<-4$.
• $x=2$ удовлетворяет этому условию, так как $2\ge -4$.

Шаг 5: Заключение.

Решение для этого неравенства:

$$x\ge 2.$$

Ответ: $x\ge 2$.

г) $\mathrm{\mid }{x}^2+7x\mathrm{\mid }\le 4x+10$

Шаг 1: Разбор выражений под модулем.

Неравенство $\mathrm{\mid }{x}^2+7x\mathrm{\mid }\le 4x+10$ имеет два случая:

1. $x^2+7x\ge 0$
2. $x^2+7x<0$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x^2+7x\ge 0$:

$$x^2+7x\le 4x+10⟹x^2+3x-10\le 0.$$

Находим дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49.$$

Решения:

$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$

Таким образом, решения: $-5\le x\le 2$.

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $x^2+7x<0$:

$$-(x^2+7x)\le 4x+10⟹x^2+11x+10\ge 0.$$

Находим дискриминант:

$$D={11}^2-4\cdot 1\cdot 10=121-40=81.$$

Решения:

$$x_1=\frac{-11-9}{2}=-10\text{и}{x}_2=\frac{-11+9}{2}=-1.$$

Таким образом, решения: $x\le -10$ или $x\ge -1$.

Шаг 4: Заключение.

Для полного решения неравенства, учитывая все условия, получаем:

$$-1\le x\le 2.$$

Ответ: $-1\le x\le 2$.