ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

а) |х + 5| > 5x — 7;

б) |х² + x — 5| > Зх;

в) |7x + 4| > 6 + 5x;

г) |-x² — х| > 4x — 2.

Краткий ответ:

а) $∣ x + 5 ∣ > 5 x - 7$ ;

$\sqrt{(x + 5)^{2}} > 5 x - 7;$ $(x + 5)^{2} > (5 x - 7)^{2};$ $x^{2} + 10 x + 25 > 25 x^{2} - 70 x + 49;$ $24 x^{2} - 80 x + 24 < 0;$ $3 x^{2} - 10 x + 3 < 0;$ $D = 10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64, тогда:$ $x_{1} = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} и x_{2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$ $(x - \frac{1}{3}) (x - 3) < 0;$ $\frac{1}{3} < x < 3;$

Неравенство всегда верно при:

$5 x - 7 < 0;$ $5 x < 7;$ $x < 1, 4;$

Ответ: $x < 3$ .

б) $∣ x^{2} + x - 5 ∣ > 3 x$ ;

Выражение под знаком модуля:

$x^{2} + x - 5 \geq 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 5 = 1 + 20 = 21 \approx 4, 5^{2}, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 1 - 4, 5}{2} = - 2, 75 и x_{2} = \frac{- 1 + 4, 5}{2} = 1, 75;$ $(x + 2, 75) (x - 1, 75) \geq 0;$ $x \leq - 2, 75 и x \geq 1, 75;$

Если $x^{2} + x - 5 \geq 0$ , тогда:

$x^{2} + x - 5 > 3 x;$ $x^{2} - 2 x - 5 > 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 = 4 \cdot 6, тогда:$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6};$ $(x - (1 - \sqrt{6})) (x - (1 + \sqrt{6})) > 0;$ $x < 1 - \sqrt{6} и x > 1 + \sqrt{6};$

Если $x^{2} + x - 5 < 0$ , тогда:

$- (x^{2} + x - 5) > 3 x;$ $x^{2} + x - 5 < - 3 x;$ $x^{2} + 4 x - 5 < 0;$ $D = 4^{2} + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5 и x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = 1;$ $(x + 5) (x - 1) < 0;$ $- 5 < x < 1;$

Неравенство всегда верно при:

$3 x \leq 0;$ $x \leq 0;$

Ответ: $x \in (- \infty; 1) \cup (1 + \sqrt{6}; + \infty)$ .

в) $∣ 7 x + 4 ∣ \geq 6 + 5 x$ ;

$\sqrt{(7 x + 4)^{2}} \geq 6 + 5 x;$ $(7 x + 4)^{2} \geq (6 + 5 x)^{2};$ $49 x^{2} + 56 x + 16 \geq 36 + 60 x + 25 x^{2};$ $24 x^{2} - 4 x - 20 \geq 0;$ $6 x^{2} - x - 5 \geq 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 5 = 1 + 120 = 121, тогда:$ $x_{1} = \frac{1 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{- 10}{12} = - \frac{5}{6} и x_{2} = \frac{1 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1;$ $(x + \frac{5}{6}) (x - 1) \geq 0;$ $x \leq - \frac{5}{6} и x \geq 1;$

Неравенство всегда верно при:

$6 + 5 x \leq 0;$ $5 x \leq - 6;$ $x \leq - \frac{6}{5};$

Ответ: $x \in (- \infty; - \frac{5}{6}] \cup [1; + \infty)$ .

г) $∣ - x^{2} - x ∣ \geq 4 x - 2$ ;

Выражение под знаком модуля:

$- x^{2} - x \geq 0;$ $x^{2} + x \leq 0;$ $(x + 1) x \leq 0;$ $- 1 \leq x \leq 0;$

Если $x < - 1$ или $x > 0$ , тогда:

$- (x^{2} + x) \geq 4 x - 2;$ $x^{2} + x \geq 4 x - 2;$ $x^{2} - 3 x + 2 \geq 0;$ $D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 8 = 1, тогда:$ $x_{1} = \frac{3 - 1}{2} = - 1 и x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2;$ $(x + 1) (x - 2) \geq 0;$ $x \leq - 1 и x \geq 2;$

Неравенство всегда верно при:

$4 x - 2 \leq 0;$ $4 x \leq 2;$ $x \leq \frac{1}{2};$

Ответ: $x \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ .

Подробный ответ:

а) $∣ x + 5 ∣ > 5 x - 7$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Для того чтобы решить неравенство $∣ x + 5 ∣ > 5 x - 7$ , начнём с того, что выразим его как два случая для модуля. Модуль выражения $∣ x + 5 ∣$ может быть равен либо $x + 5$ , либо $- (x + 5)$ . Таким образом, у нас два случая:

$x + 5 > 5 x - 7$ ,
$- (x + 5) > 5 x - 7$ .

Шаг 2: Решение первого случая $x + 5 > 5 x - 7$ .

Приводим все выражения с $x$ в одну сторону:

$x + 5 > 5 x - 7.$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а числа — на другую:

$x - 5 x > - 7 - 5,$ $- 4 x > - 12.$

Теперь делим обе части на $- 4$ , не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$x < 3.$

Шаг 3: Решение второго случая $- (x + 5) > 5 x - 7$ .

Теперь рассмотрим второй случай:

$- (x + 5) > 5 x - 7.$

Раскрываем скобки:

$- x - 5 > 5 x - 7.$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$- x - 5 - 5 x > - 7,$ $- 6 x > - 2.$

Делим обе части на $- 6$ и меняем знак неравенства:

$x < \frac{1}{3} .$

Шаг 4: Преобразование и решение исходного неравенства.

Итак, у нас есть два условия для $x$ :

$x < 3$ (из первого случая),
$x < \frac{1}{3}$ (из второго случая).

Так как $x < \frac{1}{3}$ является более строгим условием, оно должно быть верным в обоих случаях.

Шаг 5: Проверка дополнительных условий.

Необходимо также учитывать, что исходное неравенство содержит выражение $5 x - 7$ , и оно должно быть положительным, чтобы $5 x - 7$ могло быть больше нуля. Таким образом, необходимо, чтобы $5 x - 7 > 0$ , то есть $x > 1.4$ .

Шаг 6: Итоговое решение.

Итак, объединяя оба условия $x < 3$ и $x > 1.4$ , получаем, что решение данного неравенства:

$x \in (1.4, 3) .$

Ответ: $x \in (1.4, 3)$ .

б) $∣ x^{2} + x - 5 ∣ > 3 x$

Шаг 1: Разбор модуля.

Неравенство $∣ x^{2} + x - 5 ∣ > 3 x$ может быть разбито на два случая:

$x^{2} + x - 5 > 3 x$ ,
$- (x^{2} + x - 5) > 3 x$ .

Шаг 2: Решение первого случая $x^{2} + x - 5 > 3 x$ .

Решим неравенство:

$x^{2} + x - 5 > 3 x .$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$x^{2} + x - 5 - 3 x > 0 ⟹ x^{2} - 2 x - 5 > 0.$

Решаем квадратное неравенство:

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 4 + 20 = 24.$

Корни уравнения:

$x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} .$

Таким образом, неравенство $x^{2} - 2 x - 5 > 0$ имеет решение:

$x < 1 - \sqrt{6} или x > 1 + \sqrt{6} .$

Шаг 3: Решение второго случая $- (x^{2} + x - 5) > 3 x$ .

Решим неравенство:

$- (x^{2} + x - 5) > 3 x ⟹ - x^{2} - x + 5 > 3 x ⟹$

$- x^{2} - x - 3 x + 5 > 0 ⟹ - x^{2} - 4 x + 5 > 0.$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$x^{2} + 4 x - 5 < 0.$

Решаем это неравенство:

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36.$

Корни уравнения:

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{- 4 \pm 6}{2} .$

Таким образом, решения:

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5 и x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = 1.$

Решение этого неравенства: $- 5 < x < 1$ .

Шаг 4: Проверка условий для неравенства.

Теперь нужно учитывать, что $3 x \geq 0$ (так как модуль не может быть отрицательным), то есть $x \geq 0$ . Это условие ограничивает возможные значения $x$ .

Шаг 5: Итоговое решение.

Совмещая все условия, мы получаем решение:

$x \in (1 + \sqrt{6}, + \infty) .$

Ответ: $x \in (1 + \sqrt{6}, + \infty)$ .

в) $∣ 7 x + 4 ∣ \geq 6 + 5 x$

Шаг 1: Разбор модуля.

Неравенство $∣ 7 x + 4 ∣ \geq 6 + 5 x$ также имеет два случая:

$7 x + 4 \geq 6 + 5 x$ ,
$- (7 x + 4) \geq 6 + 5 x$ .

Шаг 2: Решение первого случая $7 x + 4 \geq 6 + 5 x$ .

Решим неравенство:

$7 x + 4 \geq 6 + 5 x ⟹ 7 x - 5 x \geq 6 - 4 ⟹ 2 x \geq 2 ⟹ x \geq 1.$

Шаг 3: Решение второго случая $- (7 x + 4) \geq 6 + 5 x$ .

Решим неравенство:

$- (7 x + 4) \geq 6 + 5 x ⟹ - 7 x - 4 \geq 6 + 5 x ⟹$

$- 7 x - 5 x \geq 6 + 4 ⟹ - 12 x \geq 10 ⟹ x \leq - \frac{5}{6} .$

Шаг 4: Проверка условий.

Так как у нас в исходном неравенстве выражение $6 + 5 x$ не может быть отрицательным (поскольку оно сравнивается с модулем), необходимо, чтобы $5 x + 6 \geq 0$ , то есть $x \geq - \frac{6}{5}$ .

Шаг 5: Итоговое решение.

Решения для $x$ :

$x \geq 1$ ,
$x \leq - \frac{5}{6}$ ,
$x \geq - \frac{6}{5}$ .

Таким образом, окончательное решение:

$x \in (- \infty; - \frac{5}{6}] \cup [1; + \infty) .$

Ответ: $x \in (- \infty; - \frac{5}{6}] \cup [1; + \infty)$ .

г) $∣ - x^{2} - x ∣ \geq 4 x - 2$

Шаг 1: Разбор выражения под знаком модуля.

Неравенство $∣ - x^{2} - x ∣ \geq 4 x - 2$ можно разбить на два случая:

$- x^{2} - x \geq 4 x - 2$ ,
$x^{2} + x \geq 4 x - 2$ .

Шаг 2: Решение первого случая $- x^{2} - x \geq 4 x - 2$ .

Решим неравенство:

$- x^{2} - x \geq 4 x - 2 ⟹ - x^{2} - 5 x + 2 \geq 0.$

Решаем квадратное неравенство:

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17.$

Корни:

$x_{1} = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}, x_{2} = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} .$

Решение этого неравенства будет:

$x \leq \frac{5 - \sqrt{17}}{2} или x \geq \frac{5 + \sqrt{17}}{2} .$

Шаг 3: Решение второго случая $x^{2} + x \geq 4 x - 2$ .

Решим неравенство:

$x^{2} + x \geq 4 x - 2 ⟹ x^{2} - 3 x + 2 \geq 0.$

Решаем квадратное неравенство:

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1.$

Корни:

$x_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1, x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2.$

Решение:

$x \leq 1 или x \geq 2.$

Шаг 4: Итоговое решение.

Объединяя все условия, получаем:

$x \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty) .$

Ответ: $x \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ .

Оцени решение