ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) |х + 5| > 5x — 7;

б) |х² + x — 5| > Зх;

в) |7x + 4| > 6 + 5x;

г) |-x² — х| > 4x — 2.

а) $\mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }>5x-7$;

$$\sqrt{(x+5{)}^2}>5x-7;$$$$(x+5{)}^2>(5x-7{)}^2;$$$$x^2+10x+25>25x^2-70x+49;$$$$24x^2-80x+24<0;$$$$3x^2-10x+3<0;$$$$D={10}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\text{и}{x}_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3;$$$$(x-\frac{1}{3})(x-3)<0;$$$$\frac{1}{3}<x<3;$$

Неравенство всегда верно при:

$$5x-7<0;$$$$5x<7;$$$$x<1,4;$$

Ответ: $x<3$.

б) $\mathrm{\mid }{x}^2+x-5\mathrm{\mid }>3x$;

Выражение под знаком модуля:

$$x^2+x-5\ge 0;$$$$D=1^2+4\cdot 5=1+20=21\approx 4,5^2,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{-1-4,5}{2}=-2,75\text{и}{x}_2=\frac{-1+4,5}{2}=1,75;$$$$(x+2,75)(x-1,75)\ge 0;$$$$x\le -2,75\text{и}x\ge 1,75;$$

Если $x^2+x-5\ge 0$, тогда:

$$x^2+x-5>3x;$$$$x^2-2x-5>0;$$$$D=2^2+4\cdot 5=4+20=24=4\cdot 6,\text{ тогда:}$$$$x=\frac{2\pm \sqrt{24}}{2}=\frac{2+2\sqrt{6}}{2}=1\pm \sqrt{6};$$$$(x-(1-\sqrt{6}))(x-(1+\sqrt{6}))>0;$$$$x<1-\sqrt{6}\text{и}x>1+\sqrt{6};$$

Если $x^2+x-5<0$, тогда:

$$-(x^2+x-5)>3x;$$$$x^2+x-5<-3x;$$$$x^2+4x-5<0;$$$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-4+6}{2}=1;$$$$(x+5)(x-1)<0;$$$$-5<x<1;$$

Неравенство всегда верно при:

$$3x\le 0;$$$$x\le 0;$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (1+\sqrt{6};+\mathrm{\infty })$.

в) $\mathrm{\mid }7x+4\mathrm{\mid }\ge 6+5x$;

$$\sqrt{(7x+4{)}^2}\ge 6+5x;$$$$(7x+4{)}^2\ge (6+5x{)}^2;$$$$49x^2+56x+16\ge 36+60x+25x^2;$$$$24x^2-4x-20\ge 0;$$$$6x^2-x-5\ge 0;$$$$D=1^2+4\cdot 6\cdot 5=1+120=121,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{1-11}{2\cdot 6}=\frac{-10}{12}=-\frac{5}{6}\text{и}{x}_2=\frac{1+11}{2\cdot 6}=\frac{12}{12}=1;$$$$(x+\frac{5}{6})(x-1)\ge 0;$$$$x\le -\frac{5}{6}\text{и}x\ge 1;$$

Неравенство всегда верно при:

$$6+5x\le 0;$$$$5x\le -6;$$$$x\le -\frac{6}{5};$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{5}{6}]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.

г) $\mathrm{\mid }-x^2-x\mathrm{\mid }\ge 4x-2$;

Выражение под знаком модуля:

$$-x^2-x\ge 0;$$$$x^2+x\le 0;$$$$(x+1)x\le 0;$$$$-1\le x\le 0;$$

Если $x<-1$ или $x>0$, тогда:

$$-(x^2+x)\ge 4x-2;$$$$x^2+x\ge 4x-2;$$$$x^2-3x+2\ge 0;$$$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 2=9-8=1,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{3-1}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{3+1}{2}=2;$$$$(x+1)(x-2)\ge 0;$$$$x\le -1\text{и}x\ge 2;$$

Неравенство всегда верно при:

$$4x-2\le 0;$$$$4x\le 2;$$$$x\le \frac{1}{2};$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1]\cup [2;+\mathrm{\infty })$.

а) $\mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }>5x-7$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Для того чтобы решить неравенство $\mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }>5x-7$, начнём с того, что выразим его как два случая для модуля. Модуль выражения $\mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }$ может быть равен либо $x+5$, либо $-(x+5)$. Таким образом, у нас два случая:

1. $x+5>5x-7$,
2. $-(x+5)>5x-7$.

Шаг 2: Решение первого случая $x+5>5x-7$.

Приводим все выражения с $x$ в одну сторону:

$$x+5>5x-7.$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а числа — на другую:

$$x-5x>-7-5,$$$$-4x>-12.$$

Теперь делим обе части на $-4$, не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$x<3.$$

Шаг 3: Решение второго случая $-(x+5)>5x-7$.

Теперь рассмотрим второй случай:

$$-(x+5)>5x-7.$$

Раскрываем скобки:

$$-x-5>5x-7.$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$$-x-5-5x>-7,$$$$-6x>-2.$$

Делим обе части на $-6$ и меняем знак неравенства:

$$x<\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Преобразование и решение исходного неравенства.

Итак, у нас есть два условия для $x$:

1. $x<3$ (из первого случая),
2. $x<\frac{1}{3}$ (из второго случая).

Так как $x<\frac{1}{3}$ является более строгим условием, оно должно быть верным в обоих случаях.

Шаг 5: Проверка дополнительных условий.

Необходимо также учитывать, что исходное неравенство содержит выражение $5x-7$, и оно должно быть положительным, чтобы $5x-7$ могло быть больше нуля. Таким образом, необходимо, чтобы $5x-7>0$, то есть $x>1.4$.

Шаг 6: Итоговое решение.

Итак, объединяя оба условия $x<3$ и $x>1.4$, получаем, что решение данного неравенства:

$$x\in (1.4,3)\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (1.4,3)$.

б) $\mathrm{\mid }{x}^2+x-5\mathrm{\mid }>3x$

Шаг 1: Разбор модуля.

Неравенство $\mathrm{\mid }{x}^2+x-5\mathrm{\mid }>3x$ может быть разбито на два случая:

1. $x^2+x-5>3x$,
2. $-(x^2+x-5)>3x$.

Шаг 2: Решение первого случая $x^2+x-5>3x$.

Решим неравенство:

$$x^2+x-5>3x\mathrm{.}$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2+x-5-3x>0⟹x^2-2x-5>0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=4+20=24.$$

Корни уравнения:

$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{24}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2}=1\pm \sqrt{6}\mathrm{.}$$

Таким образом, неравенство $x^2-2x-5>0$ имеет решение:

$$x<1-\sqrt{6}\text{или}x>1+\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Решение второго случая $-(x^2+x-5)>3x$.

Решим неравенство:

$$-(x^2+x-5)>3x⟹-x^2-x+5>3x⟹$$

$$-x^2-x-3x+5>0⟹-x^2-4x+5>0.$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2+4x-5<0.$$

Решаем это неравенство:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36.$$

Корни уравнения:

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm 6}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, решения:

$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$

Решение этого неравенства: $-5<x<1$.

Шаг 4: Проверка условий для неравенства.

Теперь нужно учитывать, что $3x\ge 0$ (так как модуль не может быть отрицательным), то есть $x\ge 0$. Это условие ограничивает возможные значения $x$.

Шаг 5: Итоговое решение.

Совмещая все условия, мы получаем решение:

$$x\in (1+\sqrt{6},+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (1+\sqrt{6},+\mathrm{\infty })$.

в) $\mathrm{\mid }7x+4\mathrm{\mid }\ge 6+5x$

Шаг 1: Разбор модуля.

Неравенство $\mathrm{\mid }7x+4\mathrm{\mid }\ge 6+5x$ также имеет два случая:

1. $7x+4\ge 6+5x$,
2. $-(7x+4)\ge 6+5x$.

Шаг 2: Решение первого случая $7x+4\ge 6+5x$.

Решим неравенство:

$$7x+4\ge 6+5x⟹7x-5x\ge 6-4⟹2x\ge 2⟹x\ge 1.$$

Шаг 3: Решение второго случая $-(7x+4)\ge 6+5x$.

Решим неравенство:

$$-(7x+4)\ge 6+5x⟹-7x-4\ge 6+5x⟹$$

$$-7x-5x\ge 6+4⟹-12x\ge 10⟹x\le -\frac{5}{6}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Проверка условий.

Так как у нас в исходном неравенстве выражение $6+5x$ не может быть отрицательным (поскольку оно сравнивается с модулем), необходимо, чтобы $5x+6\ge 0$, то есть $x\ge -\frac{6}{5}$.

Шаг 5: Итоговое решение.

Решения для $x$:

• $x\ge 1$,
• $x\le -\frac{5}{6}$,
• $x\ge -\frac{6}{5}$.

Таким образом, окончательное решение:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{5}{6}]\cup [1;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{5}{6}]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.

г) $\mathrm{\mid }-x^2-x\mathrm{\mid }\ge 4x-2$

Шаг 1: Разбор выражения под знаком модуля.

Неравенство $\mathrm{\mid }-x^2-x\mathrm{\mid }\ge 4x-2$ можно разбить на два случая:

1. $-x^2-x\ge 4x-2$,
2. $x^2+x\ge 4x-2$.

Шаг 2: Решение первого случая $-x^2-x\ge 4x-2$.

Решим неравенство:

$$-x^2-x\ge 4x-2⟹-x^2-5x+2\ge 0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=25-8=17.$$

Корни:

$$x_1=\frac{5-\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\mathrm{.}$$

Решение этого неравенства будет:

$$x\le \frac{5-\sqrt{17}}{2}\text{или}x\ge \frac{5+\sqrt{17}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Решение второго случая $x^2+x\ge 4x-2$.

Решим неравенство:

$$x^2+x\ge 4x-2⟹x^2-3x+2\ge 0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.$$

Корни:

$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$

Решение:

$$x\le 1\text{или}x\ge 2.$$

Шаг 4: Итоговое решение.

Объединяя все условия, получаем:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-1]\cup [2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1]\cup [2;+\mathrm{\infty })$.