ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите все значения а, при которых |х — 2| = а, если |х — а| = 1;

б) найдите все значения а, при которых |х — 2а + а²| = а, если |х — а| = 2 — а.

а) $|x — 2| = a$, если $|x — a| = 1$;

Первая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2 = -a \\ x — a = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 — x \\ a = x + 1 \end{cases}$$ $$2 — x = x + 1;$$ $$-2x = -1, \text{ отсюда } x = 0.5;$$ $$a = 0.5 + 1 = 1.5;$$

Вторая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2 = -a \\ x — a = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 — x \\ a = x — 1 \end{cases}$$ $$2 — x = x — 1;$$ $$-2x = -3, \text{ отсюда } x = 1.5;$$ $$a = 1.5 — 1 = 0.5;$$

Третья пара значений:

$$\begin{cases} x — 2 = a \\ x — a = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x — 2 \\ a = x + 1 \end{cases}$$ $$x — 2 = x + 1;$$ $$0x = 3 — \text{нет корней};$$

Четвертая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2 = a \\ x — a = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x — 2 \\ a = x — 1 \end{cases}$$ $$x — 2 = x — 1;$$ $$0x = 1 — \text{нет корней};$$

Ответ: $a_1 = 0.5; \, a_2 = 1.5$.

б) $|x — 2a + a^2| = a$, если $|x — a| = 2 — a$;

Первая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2a + a^2 = -a \\ x — a = -(2 — a) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — a + a^2 = 0 \\ x = 2a — 2 \end{cases}$$ $$2a — 2 — a + a^2 = 0;$$ $$a^2 + a — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$a_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Вторая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2a + a^2 = -a \\ x — a = 2 — a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 — a + x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$$ $$a^2 — a + 2 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;$$ $$D < 0 — \text{корней нет};$$

Третья пара значений:

$$\begin{cases} x — 2a + a^2 = a \\ x — a = -(2 — a) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 — 3a + x = 0 \\ x = 2a — 2 \end{cases}$$ $$a^2 — 3a + 2a — 2 = 0;$$ $$a^2 — a — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Четвертая пара значений:

$$\begin{cases} x — 2a + a^2 = a \\ x — a = 2 — a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 — 3a + x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$$ $$a^2 — 3a + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$$ $$a_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$

Ответ: $a_1 = 1; \, a_2 = 2$.

а) $|x — 2| = a$, если $|x — a| = 1$;

Шаг 1. Рассмотрим уравнение $|x — a| = 1$.
Модуль $|x — a| = 1$ имеет два возможных случая:

1. $x — a = 1$
2. $x — a = -1$

1) Первая пара значений:

Рассмотрим случай $x — a = -1$. Тогда $x = a — 1$.

Подставим это значение $x = a — 1$ в уравнение $|x — 2| = a$, которое имеет форму:

$$|x — 2| = a$$

Подставим $x = a — 1$ в выражение внутри модуля:

$$| (a — 1) — 2 | = a$$

Преобразуем выражение:

$$| a — 3 | = a$$

Теперь у нас два возможных случая для выражения $|a — 3|$:

1. $a — 3 = a$
2. $a — 3 = -a$

Рассмотрим каждый из них:

Первый случай:

$$a — 3 = a$$

В этом случае вычитаем $a$ с обеих сторон:

$$-3 = 0$$

Это противоречие, следовательно, этот случай не имеет решений.

Второй случай:

$$a — 3 = -a$$

Теперь добавим $a$ к обеим частям:

$$a — 3 + a = -a + a$$

Получаем:

$$2a — 3 = 0$$

Добавим 3 к обеим частям:

$$2a = 3$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$a = 1.5$$

Таким образом, для первой пары значений мы получаем $a = 1.5$.

2) Вторая пара значений:

Рассмотрим случай $x — a = 1$. Тогда $x = a + 1$.

Подставим это значение $x = a + 1$ в уравнение $|x — 2| = a$, которое имеет форму:

$$|x — 2| = a$$

Подставим $x = a + 1$ в выражение внутри модуля:

$$| (a + 1) — 2 | = a$$

Преобразуем выражение:

$$| a — 1 | = a$$

Теперь у нас два возможных случая для выражения $|a — 1|$:

1. $a — 1 = a$
2. $a — 1 = -a$

Рассмотрим каждый из них:

Первый случай:

$$a — 1 = a$$

В этом случае вычитаем $a$ с обеих сторон:

$$-1 = 0$$

Это противоречие, следовательно, этот случай не имеет решений.

Второй случай:

$$a — 1 = -a$$

Теперь добавим $a$ к обеим частям:

$$a — 1 + a = -a + a$$

Получаем:

$$2a — 1 = 0$$

Теперь добавим 1 к обеим частям:

$$2a = 1$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$a = 0.5$$

Таким образом, для второй пары значений мы получаем $a = 0.5$.

3) Третья пара значений:

Теперь рассмотрим случай, когда $x — 2 = a$, то есть $x = a + 2$.

Подставим это значение $x = a + 2$ в уравнение $|x — a| = 1$, которое имеет форму:

$$|x — a| = 1$$

Подставим $x = a + 2$ в выражение внутри модуля:

$$| (a + 2) — a | = 1$$

Преобразуем выражение:

$$| 2 | = 1$$

Так как $|2| = 2$, это противоречие с условием $|x — a| = 1$. Следовательно, для этой пары значений нет решений.

4) Четвертая пара значений:

Рассмотрим случай, когда $x — 2 = -a$, то есть $x = 2 — a$.

Подставим это значение $x = 2 — a$ в уравнение $|x — a| = 1$, которое имеет форму:

$$|x — a| = 1$$

Подставим $x = 2 — a$ в выражение внутри модуля:

$$| (2 — a) — a | = 1$$

Преобразуем выражение:

$$| 2 — 2a | = 1$$

Теперь у нас два возможных случая для выражения $|2 — 2a|$:

1. $2 — 2a = 1$
2. $2 — 2a = -1$

Рассмотрим каждый из них:

Первый случай:

$$2 — 2a = 1$$

Теперь вычитаем 2 с обеих сторон:

$$-2a = -1$$

Теперь делим обе части на -2:

$$a = 0.5$$

Второй случай:

$$2 — 2a = -1$$

Теперь вычитаем 2 с обеих сторон:

$$-2a = -3$$

Теперь делим обе части на -2:

$$a = 1.5$$

Ответ для части а):

Мы получили два возможных значения для $a$:
$a_1 = 0.5$ и $a_2 = 1.5$.

б) $|x — 2a + a^2| = a$, если $|x — a| = 2 — a$;

Шаг 1. Рассмотрим уравнение $|x — a| = 2 — a$.

Модуль $|x — a| = 2 — a$ имеет два возможных случая:

1. $x — a = 2 — a$
2. $x — a = -(2 — a)$

1) Первая пара значений:

Рассмотрим случай $x — a = 2 — a$, тогда $x = 2$.

Подставим это значение $x = 2$ в уравнение $|x — 2a + a^2| = a$, которое имеет форму:

$$|2 — 2a + a^2| = a$$

Теперь рассмотрим два возможных случая для выражения $|2 — 2a + a^2|$:

1. $2 — 2a + a^2 = a$
2. $2 — 2a + a^2 = -a$

1.1. Первый случай:

$$2 — 2a + a^2 = a$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$a^2 — 3a + 2 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Таким образом, корни будут:

$$a_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = 1$$ $$a_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

1.2. Второй случай:

$$2 — 2a + a^2 = -a$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$a^2 — a + 2 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$$

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ для первой пары значений: $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

2) Вторая пара значений:

Теперь рассмотрим случай $x — a = -(2 — a)$, тогда $x = 2a — 2$.

Подставим это значение $x = 2a — 2$ в уравнение $|x — 2a + a^2| = a$, которое имеет форму:

$$| (2a — 2) — 2a + a^2 | = a$$

Упростим выражение внутри модуля:

$$| -2 + a^2 | = a$$

Теперь рассмотрим два возможных случая для выражения $|-2 + a^2|$:

1. $-2 + a^2 = a$
2. $-2 + a^2 = -a$

2.1. Первый случай:

$$a^2 — a — 2 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

2.2. Второй случай:

$$a^2 — a + 2 = 0$$

Используем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$$

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ для части б):

Мы получили два возможных значения для $a$:
$a_1 = 1, a_2 = 2$