ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях x верно равенство:

а) |x| = x;

б) |х — 7| = x — 7;

в) |x| = -x;

г) |x² — 7x + 12| = 7x — x² — 12?

а) $|x| = x$;
По определению модуля числа:
$x \geq 0$;
Ответ: $x \geq 0$.

б) $|x — 7| = x — 7$;
По определению модуля числа:
$x — 7 \geq 0$;
$x \geq 7$;
Ответ: $x \geq 7$.

в) $|x| = -x$;
По определению модуля числа:
$x \leq 0$;
Ответ: $x \leq 0$.

г) $|x^2 — 7x + 12| = 7x — x^2 — 12$;
$|x^2 — 7x + 12| = -(x^2 — 7x + 12)$;
По определению модуля числа:
$x^2 — 7x + 12 \leq 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$;
$(x — 3)(x — 4) \leq 0$;
$3 \leq x \leq 4$;
Ответ: $3 \leq x \leq 4$.

а) $|x| = x$

Шаг 1: Разбор определения модуля числа.

Модуль числа $x$ по определению можно записать как:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Шаг 2: Рассмотрение условия задачи.

Условие задачи: $|x| = x$. Из этого уравнения следует, что модуль числа $x$ равен самому числу $x$.

Согласно определению модуля, чтобы $|x| = x$, необходимо, чтобы $x \geq 0$, так как только для неотрицательных чисел модуль числа совпадает с самим числом.

Шаг 3: Ответ.

Ответ: $x \geq 0$.

б) $|x — 7| = x — 7$

Шаг 1: Разбор определения модуля.

По аналогии с предыдущим пунктом, модуль выражения $x — 7$ определяется так:

$$|x — 7| = \begin{cases} x — 7, & \text{если } x — 7 \geq 0, \\ -(x — 7), & \text{если } x — 7 < 0. \end{cases}$$

Шаг 2: Рассмотрение условия задачи.

Условие задачи: $|x — 7| = x — 7$. Это означает, что модуль выражения $x — 7$ равен самому выражению $x — 7$. По определению модуля это может быть только в случае, если $x — 7 \geq 0$, то есть:

$$x — 7 \geq 0$$

Шаг 3: Преобразование неравенства.

Решаем неравенство:

$$x — 7 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 7.$$

Шаг 4: Ответ.

Ответ: $x \geq 7$.

в) $|x| = -x$

Шаг 1: Разбор определения модуля.

Определение модуля $|x|$:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Шаг 2: Рассмотрение условия задачи.

Условие задачи: $|x| = -x$. Это означает, что модуль числа $x$ равен $-x$.

Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, но в таком случае $x = -x$ возможно только при $x = 0$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение $|x| = -x$ выполняется для любых отрицательных $x$.

Шаг 3: Ответ.

Ответ: $x \leq 0$.

г) $|x^2 — 7x + 12| = 7x — x^2 — 12$

Шаг 1: Разбор определения модуля.

По определению модуля, $|A| = -A$, если $A \leq 0$, и $|A| = A$, если $A \geq 0$. В данном случае $A = x^2 — 7x + 12$.

Шаг 2: Раскрытие модуля.

Условие задачи: $|x^2 — 7x + 12| = 7x — x^2 — 12$.

Для того, чтобы уравнение выполнялось, нужно рассмотреть два случая: когда выражение под модулем $x^2 — 7x + 12$ больше или равно нулю, и когда оно меньше нуля.

Шаг 3: Рассмотрение первого случая: $x^2 — 7x + 12 \geq 0$.

Если $x^2 — 7x + 12 \geq 0$, то $|x^2 — 7x + 12| = x^2 — 7x + 12$, и уравнение становится:

$$x^2 — 7x + 12 = 7x — x^2 — 12.$$

Переносим все выражения на одну сторону:

$$x^2 — 7x + 12 + x^2 + 7x + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 24 = 0.$$

Решаем полученное уравнение:

$$2x^2 = -24 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -12.$$

Так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$, этого решения не существует. Таким образом, этот случай не дает решений.

Шаг 4: Рассмотрение второго случая: $x^2 — 7x + 12 < 0$.

Если $x^2 — 7x + 12 < 0$, то $|x^2 — 7x + 12| = -(x^2 — 7x + 12)$, и уравнение становится:

$$-(x^2 — 7x + 12) = 7x — x^2 — 12.$$

Упростим:

$$-x^2 + 7x — 12 = 7x — x^2 — 12.$$

Переносим все выражения на одну сторону:

$$-x^2 + 7x — 12 — 7x + x^2 + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0.$$

Это тождество верно для всех значений $x$, которые удовлетворяют неравенству $x^2 — 7x + 12 < 0$.

Шаг 5: Решение неравенства $x^2 — 7x + 12 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 — 7x + 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2} = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4.$$

Неравенство $x^2 — 7x + 12 \leq 0$ эквивалентно:

$$(x — 3)(x — 4) \leq 0.$$

Решаем неравенство:

$$3 \leq x \leq 4.$$

Шаг 6: Ответ.

Ответ: $3 \leq x \leq 4$.