ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha числовой прямой отметьте все такие точки x, которые удовлетворяют заданному соотношению:

а) |x| = -x;

б) |х + 2| = x + 2;

в) |x| = x;

г) |x — 2| = 2 — x.

а) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$;

1. По определению модуля числа:$$x\le 0;$$
2. На числовой прямой:

б) $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=x+2$;

1. По определению модуля числа:$$x+2\ge 0;$$$$x\ge -2;$$
2. На числовой прямой:

в) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$;

1. По определению модуля числа:$$x\ge 0;$$
2. На числовой прямой:

г) $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=2-x=-(x-2)$;

1. По определению модуля числа:$$x-2\le 0;$$$$x\le 2;$$
2. На числовой прямой:

а) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$

Шаг 1: Разбор определения модуля числа

Модуль числа $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ определяется как:

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}x,& \text{если }x\ge 0,\\ -x,& \text{если }x<0.\end{array}$$

Нам дано уравнение $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$, и нужно выяснить, при каких значениях $x$ оно выполняется.

Шаг 2: Анализ уравнения

1. Если $x\ge 0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$. Но в этом случае уравнение $x=-x$ возможно только при $x=0$, так как для положительных значений $x$ уравнение не выполняется.
2. Если $x<0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$. В этом случае уравнение $-x=-x$ выполняется для всех отрицательных значений $x$.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, уравнение $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ выполняется при всех $x\le 0$.

Ответ: $x\le 0$.

б) $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=x+2$

Шаг 1: Разбор определения модуля числа

Модуль числа $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }$ можно записать по определению как:

$$\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}x+2,& \text{если }x+2\ge 0,\\ -(x+2),& \text{если }x+2<0.\end{array}$$

Нам дано уравнение $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=x+2$, и нужно выяснить, при каких значениях $x$ оно выполняется.

Шаг 2: Анализ уравнения

1. Если $x+2\ge 0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=x+2$, и уравнение $x+2=x+2$ выполняется для всех $x\ge -2$.
2. Если $x+2<0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=-(x+2)$, и уравнение $-(x+2)=x+2$ приводит к противоречию, потому что $-x-2=x+2$ не имеет решения.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, уравнение $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=x+2$ выполняется при $x\ge -2$.

Ответ: $x\ge -2$.

в) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$

Шаг 1: Разбор определения модуля числа

Модуль числа $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ определяется как:

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}x,& \text{если }x\ge 0,\\ -x,& \text{если }x<0.\end{array}$$

Нам дано уравнение $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$, и нужно выяснить, при каких значениях $x$ оно выполняется.

Шаг 2: Анализ уравнения

1. Если $x\ge 0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$, и уравнение $x=x$ выполняется для всех $x\ge 0$.
2. Если $x<0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$, и уравнение $-x=x$ приводит к противоречию, так как для отрицательных $x$ это не возможно.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, уравнение $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ выполняется только при $x\ge 0$.

Ответ: $x\ge 0$.

г) $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=2-x=-(x-2)$

Шаг 1: Разбор определения модуля числа

Модуль числа $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ определяется как:

$$\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}x-2,& \text{если }x-2\ge 0,\\ -(x-2),& \text{если }x-2<0.\end{array}$$

Нам дано уравнение $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=2-x=-(x-2)$, и нужно выяснить, при каких значениях $x$ оно выполняется.

Шаг 2: Анализ уравнения

Если $x-2\ge 0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=x-2$, и уравнение $x-2=2-x$ преобразуется в:

$$x-2=2-x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2.$$

Если $x-2<0$, то по определению модуля $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=-(x-2)$, и уравнение $-(x-2)=2-x$ преобразуется в:

$$-x+2=2-x,$$

что является тождеством и выполняется для всех $x<2$.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, уравнение $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=2-x=-(x-2)$ выполняется для всех $x\le 2$.

Ответ: $x\le 2$.