ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $|x| \leq x$

По шестому свойству модуля:

$$\begin{cases} |x| \leq x & \Rightarrow & |x| = x; \\ |x| \geq x \end{cases}$$

По определению модуля числа:

$$x \geq 0;$$

На числовой прямой:

б) $|x| \leq -x$

По шестому свойству модуля:

$$\begin{cases} |x| \leq -x & \Rightarrow & |x| = -x; \\ |x| \geq -x \end{cases}$$

По определению модуля числа:

$$x \leq 0;$$

На числовой прямой:

$$\text{(График: отмечена полупрямая от -∞ до 0)}$$в) $|x+2| \leq x+2$

По шестому свойству модуля:

$$\begin{cases} |x+2| \leq x+2 & \Rightarrow & |x+2| = x+2; \\ |x+2| \geq x+2 \end{cases}$$

По определению модуля числа:

$$x+2 \geq 0; \\ x \geq -2;$$

На числовой прямой:$$\text{(График: отмечена полупрямая от -2 до +∞)}$$

г) $|x-2| \leq 2-x$

По шестому свойству модуля:

$$\begin{cases} |x-2| \leq -(x-2) & \Rightarrow & |x-2| = -(x-2); \\ |x-2| \geq -(x-2) \end{cases}$$

По определению модуля числа:

$$x-2 \leq 0; \\ x \leq 2;$$

На числовой прямой:

$$\text{(График: отмечена полупрямая от -∞ до 2)}$$

а) $|x| \leq x$

Шаг 1: Разбор неравенства

Необходимо решить неравенство $|x| \leq x$. Начнем с того, что по определению модуля:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Таким образом, рассматриваем два случая:

Если $x \geq 0$:

$$|x| = x.$$

Подставляем это в исходное неравенство $|x| \leq x$:

$$x \leq x,$$

которое всегда верно для всех $x \geq 0$.

Если $x < 0$:

$$|x| = -x.$$

Подставляем это в исходное неравенство $|x| \leq x$:

$$-x \leq x.$$

Переносим все выражения в одну сторону:

$$-x — x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -2x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.$$

Но этот результат противоречит нашему предположению, что $x < 0$. Поэтому при $x < 0$ неравенство не выполняется.

Шаг 2: Ответ

Таким образом, неравенство $|x| \leq x$ выполняется только для $x \geq 0$.

Ответ: $x \geq 0$.

Шаг 3: График

б) $|x| \leq -x$

Шаг 1: Разбор неравенства

Необходимо решить неравенство $|x| \leq -x$. Снова рассматриваем два случая:

Если $x \geq 0$:

$$|x| = x.$$

Подставляем это в исходное неравенство $|x| \leq -x$:

$$x \leq -x.$$

Переносим все выражения в одну сторону:

$$x + x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0.$$

Но это противоречит нашему предположению, что $x \geq 0$. Поэтому при $x \geq 0$ неравенство не выполняется.

Если $x < 0$:

$$|x| = -x.$$

Подставляем это в исходное неравенство $|x| \leq -x$:

$$-x \leq -x,$$

что всегда верно для всех $x < 0$.

Шаг 2: Ответ

Таким образом, неравенство $|x| \leq -x$ выполняется только для $x < 0$.

Ответ: $x < 0$.

Шаг 3: График

в) $|x + 2| \leq x + 2$

Шаг 1: Разбор неравенства

Необходимо решить неравенство $|x + 2| \leq x + 2$. Снова рассматриваем два случая:

Если $x + 2 \geq 0$, то $|x + 2| = x + 2$:
Подставляем это в исходное неравенство $|x + 2| \leq x + 2$:

$$x + 2 \leq x + 2,$$

что всегда верно для всех $x \geq -2$.

Если $x + 2 < 0$, то $|x + 2| = -(x + 2)$:
Подставляем это в исходное неравенство $|x + 2| \leq x + 2$:

$$-(x + 2) \leq x + 2.$$

Упрощаем:

$$-x — 2 \leq x + 2 \quad \Rightarrow \quad -2x \leq 4 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2.$$

Но это противоречит нашему предположению, что $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$. Следовательно, это условие не выполняется для $x < -2$.

Шаг 2: Ответ

Таким образом, неравенство $|x + 2| \leq x + 2$ выполняется для всех $x \geq -2$.

Ответ: $x \geq -2$.

Шаг 3: График

г) $|x — 2| \leq 2 — x$

Шаг 1: Разбор неравенства

Необходимо решить неравенство $|x — 2| \leq 2 — x$. Снова рассматриваем два случая:

Если $x — 2 \geq 0$, то $|x — 2| = x — 2$:
Подставляем это в исходное неравенство $|x — 2| \leq 2 — x$:

$$x — 2 \leq 2 — x.$$

Переносим все выражения в одну сторону:

$$x + x \leq 2 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x \leq 4 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2.$$

Таким образом, при $x \geq 2$ это условие выполняется.

Если $x — 2 < 0$, то $|x — 2| = -(x — 2) = -x + 2$:
Подставляем это в исходное неравенство $|x — 2| \leq 2 — x$:

$$-x + 2 \leq 2 — x,$$

что всегда верно.

Шаг 2: Ответ

Таким образом, неравенство $|x — 2| \leq 2 — x$ выполняется для всех $x \leq 2$.

Ответ: $x \leq 2$.

Шаг 3: График