ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 50 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) x(x+7)(3-6x) > =0;

б) (2x-1)(4-12x)(x+9) < 0.

а) $x(x + 7)(3 — 6x) \geq 0$;
$x(x + 7) \cdot (-3)(2x — 1) \geq 0 \quad | : (-3)$;
$(x + 7) \cdot x \cdot (2x — 1) \leq 0$;
$x \leq -7$ и $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$;
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [0; 0.5]$.

б) $(2x — 1)(4 — 12x)(x + 9) < 0$;
$(2x — 1) \cdot (-4)(3x — 1)(x + 9) < 0 \quad | : (-4)$;
$(x + 9)(3x — 1)(2x — 1) > 0$;
$-9 < x < \frac{1}{3}$ и $x > \frac{1}{2}$;
Ответ: $x \in \left( -9; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)$.

а) Решить неравенство:

$$x(x + 7)(3 — 6x) \geq 0$$

Шаг 1: Приводим множители к стандартному виду

Выражение:

$$x(x + 7)(3 — 6x)$$

Удобнее записать последний множитель, чтобы старший коэффициент был положительным:

$$3 — 6x = -3 \cdot (2x — 1)$$

Подставим:

$$x(x + 7)(-3)(2x — 1) \geq 0$$

Шаг 2: Убираем числовой множитель -3

Множитель –3 — отрицательное число, при делении на него меняется знак неравенства:

$$x(x + 7)(2x — 1) \leq 0$$

Шаг 3: Найдём нули (корни) выражения

Приравниваем каждый множитель к нулю:

• $x = 0$
• $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$
• $2x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Шаг 4: Разметим числовую прямую

Корни:

$$x = -7,\quad x = 0,\quad x = \frac{1}{2}$$

Промежутки:

1. $(-\infty, -7)$
2. $(-7, 0)$
3. $(0, \frac{1}{2})$
4. $(\frac{1}{2}, +\infty)$

Шаг 5: Определим знак на каждом промежутке

Выражение:

$$(x + 7) \cdot x \cdot (2x — 1)$$

Подставим значения:

1. $x = -8$:
   $(-8 + 7)(-8)(2 \cdot -8 — 1) = (-1)(-8)(-17) = -136 < 0$
2. $x = -1$:
   $( -1 + 7)( -1)( -2 — 1 ) = (6)(-1)(-3) = 18 > 0$
3. $x = 0.25$:
   $(0.25 + 7)(0.25)(0.5 — 1) = (7.25)(0.25)(-0.5) < 0$
4. $x = 1$:
   $(1 + 7)(1)(2 — 1) = (8)(1)(1) = 8 > 0$

Шаг 6: Учитываем знак неравенства

Нам нужно:

$$(x + 7) \cdot x \cdot (2x — 1) \leq 0$$

То есть:

• Промежутки со знаком «минус»
• Нули тоже включаем (знак «≤»)

Минус на промежутках:

• $(-\infty, -7)$
• $(0, \frac{1}{2})$

Также включаем точки, где выражение = 0:

• $x = -7$
• $x = 0$
• $x = \frac{1}{2}$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -7] \cup [0; 0{,}5]}$$

б) Решить неравенство:

$$(2x — 1)(4 — 12x)(x + 9) < 0$$

Шаг 1: Упростим выражение

Запишем множитель $4 — 12x$ в виде:

$$4 — 12x = -4 \cdot (3x — 1)$$

Теперь:

$$(2x — 1)(-4)(3x — 1)(x + 9) < 0$$

Шаг 2: Уберём числовой множитель -4

Так как -4 < 0, при делении на -4 знак неравенства меняется:

$$(2x — 1)(3x — 1)(x + 9) > 0$$

Шаг 3: Найдём нули выражения

• $2x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
• $3x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$
• $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$

Шаг 4: Разметим числовую прямую

Корни:

$$x = -9,\quad x = \frac{1}{3},\quad x = \frac{1}{2}$$

Промежутки:

1. $(-\infty, -9)$
2. $(-9, \frac{1}{3})$
3. $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$
4. $(\frac{1}{2}, +\infty)$

Шаг 5: Проверим знак на каждом промежутке

Выражение:

$$(2x — 1)(3x — 1)(x + 9)$$

Подставим:

1. $x = -10$:
   $(-21)(-31)(-1) = -\text{(отриц.)}$
2. $x = 0$:
   $(-1)(-1)(9) = 9 > 0$
3. $x = 0.4$:
   $(-0.2)(0.2)(9.4) = -\text{(отриц.)}$
4. $x = 1$:
   $(1)(2)(10) = 20 > 0$

Шаг 6: Нам нужно $> 0$

То есть:

• $(-9, \frac{1}{3})$
• $(\frac{1}{2}, +\infty)$

Корни не включаем — знак строгий (> 0)

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( -9; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)}$$