ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 51 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) (x^2+9)/(4x^2-1) < 0;

б) 10/(1-100x^2) < 0.

а) $\frac{x^2 + 9}{4x^2 — 1} < 0$;

$4x^2 — 1 < 0 \quad |: 4$;

$x^2 — \frac{1}{4} < 0$;

$(x + \frac{1}{2})(x — \frac{1}{2}) < 0$;

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$;

Ответ: $x \in (-0,5; 0,5)$.

б) $\frac{10}{1 — 100x^2} < 0$;

$1 — 100x^2 < 0$;

$100x^2 — 1 > 0 \quad |: 100$;

$x^2 — \frac{1}{100} > 0$;

$(x + \frac{1}{10})(x — \frac{1}{10}) > 0$;

$x < -\frac{1}{10} \text{ и } x > \frac{1}{10}$;

Ответ: $x \in (-\infty; -0,1) \cup (0,1; +\infty)$.

а) Решить неравенство:

$$\frac{x^2 + 9}{4x^2 — 1} < 0$$

Шаг 1: Анализ выражения

Дробь меньше нуля тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Значит, надо рассмотреть знак числителя и знаменателя отдельно.

Шаг 2: Анализ числителя $x^2 + 9$

Выражение $x^2 + 9$ всегда положительно, потому что:

• $x^2 \geq 0$ для всех $x$,
• $x^2 + 9 \geq 9 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно:

• Числитель всегда положителен.

Шаг 3: Определение, при каких $x$ знаменатель отрицателен

Переходим к анализу знака знаменателя:

$$4x^2 — 1 < 0$$

Решим это неравенство.

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство

$$4x^2 — 1 < 0$$

Поделим обе части на 4 (на положительное число — знак неравенства не меняется):

$$x^2 — \frac{1}{4} < 0$$

Это неравенство можно представить в виде разности квадратов:

$$(x + \frac{1}{2})(x — \frac{1}{2}) < 0$$

Шаг 5: Решаем методом интервалов

Нули выражения — это точки:

• $x = -\frac{1}{2}$,
• $x = \frac{1}{2}$.

Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:

• При $x < -\frac{1}{2}$, например $x = -1$: $(-1 + \frac{1}{2})(-1 — \frac{1}{2}) = (-0.5)(-1.5) = 0.75 > 0$
• При $x = 0$: $(0 + \frac{1}{2})(0 — \frac{1}{2}) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$
• При $x > \frac{1}{2}$, например $x = 1$: $(1 + \frac{1}{2})(1 — \frac{1}{2}) = (1.5)(0.5) = 0.75 > 0$

Значит:

$$(x + \frac{1}{2})(x — \frac{1}{2}) < 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$

Шаг 6: Ответ для исходного неравенства

Так как числитель всегда положительный, то всё выражение $\frac{x^2 + 9}{4x^2 — 1} < 0$ будет меньше нуля, только когда знаменатель отрицательный.

А это происходит при:

$$x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$

Переводим в десятичную форму:

Ответ:

$$x \in (-0{,}5;\ 0{,}5)$$

б) Решить неравенство:

$$\frac{10}{1 — 100x^2} < 0$$

Шаг 1: Анализ числителя

Числитель $10$ — это положительное число, не зависящее от $x$.

Шаг 2: Чтобы дробь была < 0, знаменатель должен быть < 0

Рассмотрим:

$$1 — 100x^2 < 0$$

Шаг 3: Переносим $100x^2$ вправо

$$-100x^2 < -1$$

Теперь делим обе части на $-1$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$100x^2 > 1$$

Шаг 4: Делим обе части на 100 (на положительное число)

$$x^2 > \frac{1}{100}$$

Шаг 5: Решение квадратного неравенства

Это неравенство можно переписать в виде:

$$(x — \frac{1}{10})(x + \frac{1}{10}) > 0$$

Шаг 6: Метод интервалов

Нули выражения:

• $x = -\frac{1}{10}$,
• $x = \frac{1}{10}$

Определим знаки на интервалах:

• $x < -\frac{1}{10}$, например $x = -0.2$: $(-0.2 — 0.1)(-0.2 + 0.1) = (-0.3)(-0.1) = 0.03 > 0$
• $x = 0$: $(0 — 0.1)(0 + 0.1) = (-0.1)(0.1) = -0.01 < 0$
• $x > \frac{1}{10}$, например $x = 0.2$: $(0.2 — 0.1)(0.2 + 0.1) = (0.1)(0.3) = 0.03 > 0$

Следовательно:

$$(x — \frac{1}{10})(x + \frac{1}{10}) > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x < -\frac{1}{10} \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{10}$$

Шаг 7: Переводим в десятичную форму

Ответ:

$$x \in (-\infty;\ -0{,}1) \cup (0{,}1;\ +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-0{,}5;\ 0{,}5)$

б) $x \in (-\infty;\ -0{,}1) \cup (0{,}1;\ +\infty)$