ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $a_n = (6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n) : 11$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 6^{2 \cdot 1} + 3^{1+2} + 3^1 = 6^2 + 3^3 + 3 = 36 + 27 + 3 = 66 : 11;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{11} = \frac{6^{2(n+1)} + 3^{(n+1)+2} + 3^{n+1}}{11} = \frac{6^{2n+2} + 3^{n+2+1} + 3^{n+1}}{11} =$$ $$= \frac{6^2 \cdot 6^{2n} + 3^1 \cdot 3^{n+2} + 3^1 \cdot 3^n}{11} = \frac{36 \cdot 6^{2n} + 3 \cdot 3^{n+2} + 3 \cdot 3^n}{11} =$$ $$= -8 \cdot \frac{6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n}{11} + \frac{44 \cdot 6^{2n} + 11 \cdot 3^{n+2} + 11 \cdot 3^n}{11} =$$ $$= \left( -8 \cdot \frac{a_n}{11} + 4 \cdot 6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n \right) \in \mathbb{Z};$$

б) $a_n = (5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}) : 19$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 5^{2 \cdot 1 + 1} + 3^{1+2} \cdot 2^{1-1} = 5^3 + 3^3 \cdot 2^0 = 125 + 27 \cdot 1 = 152 : 19;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{19} = \frac{5^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} \cdot 2^{(n+1)-1}}{19} = \frac{5^{2n+1+2} + 3^{n+2+1} \cdot 2^{n-1+1}}{19} =$$ $$= \frac{5^2 \cdot 5^{2n+1} + 3^1 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^1 \cdot 2^{n-1}}{19} = \frac{25 \cdot 5^{2n+1} + 6 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19} =$$ $$= -13 \cdot \frac{5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19} + \frac{38 \cdot 5^{2n+1} + 19 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19} =$$ $$= \left( -13 \cdot \frac{a_n}{19} + 2 \cdot 5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1} \right) \in \mathbb{Z};$$

в) $a_n = (5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}) : 59$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 5^{2+1} + 26 \cdot 5^1 + 8^{2 \cdot 1 + 1} = 5^3 + 26 \cdot 5 + 8^3 = 125 + 130 + 512 = 767 : 59;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{59} = \frac{5^{2+(n+1)} + 26 \cdot 5^{n+1} + 8^{2(n+1)+1}}{59} = \frac{5^{2+n+1} + 26 \cdot 5^{n+1} + 8^{2n+1+2}}{59} =$$ $$= \frac{5^1 \cdot 5^{2+n} + 26 \cdot 5^1 \cdot 5^n + 8^2 \cdot 8^{2n+1}}{59} = \frac{5 \cdot 5^{2+n} + 130 \cdot 5^n + 64 \cdot 8^{2n+1}}{59} =$$ $$= -54 \cdot \frac{5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}}{59} + \frac{59 \cdot 5^{2+n} + 1534 \cdot 5^n + 118 \cdot 8^{2n+1}}{59} =$$ $$= \left( -54 \cdot \frac{a_n}{59} + 5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 2 \cdot 8^{2n+1} \right) \in \mathbb{Z};$$

г) $a_n = (5^{n+3} \cdot 2^n — 125) : 45$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 5^{1+3} \cdot 2^1 — 125 = 5^4 \cdot 2 — 125 = 625 \cdot 2 — 125 = 1125 : 45;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{45} = \frac{5^{(n+1)+3} \cdot 2^{n+1} — 125}{45} = \frac{5^{n+3+1} \cdot 2 \cdot 2^n — 125}{45} =$$ $$= \frac{10 \cdot 5^{n+3} \cdot 2^n — 125}{45} = -35 \cdot \frac{5^{n+3} \cdot 2^n — 125}{45} + \frac{45 \cdot 5^{n+3} \cdot 2^n — 4500}{45} =$$ $$=(-35\cdot \frac{a_n}{45}+5^{n+3}\cdot 2^n-100)\in \mathbb{Z}$$

а) $a_n = (6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n) : 11$;

1) Проверка для $n = 1$:

Подставляем $n = 1$ в выражение:

$$a_1 = \frac{6^{2 \cdot 1} + 3^{1+2} + 3^1}{11} = \frac{6^2 + 3^3 + 3}{11} = \frac{36 + 27 + 3}{11} = \frac{66}{11} = 6$$

Результат делится на 11, что верно.

2) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Мы должны доказать, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выражение $a_n = \frac{6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n}{11}$ делится на 11. Для этого рассмотрим:

$$\frac{a_{n+1}}{11} = \frac{6^{2(n+1)} + 3^{(n+1)+2} + 3^{n+1}}{11}$$

Раскроем выражения:

$$a_{n+1} = \frac{6^{2n+2} + 3^{n+3} + 3^{n+1}}{11}$$

Преобразуем множители:

$$a_{n+1} = \frac{6^2 \cdot 6^{2n} + 3 \cdot 3^{n+2} + 3 \cdot 3^n}{11}$$

Теперь мы можем выразить это как:

$$a_{n+1} = \frac{36 \cdot 6^{2n} + 3 \cdot 3^{n+2} + 3 \cdot 3^n}{11}$$

Попробуем разложить это на более простые части:

$$a_{n+1} = -8 \cdot \frac{6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n}{11} + \frac{44 \cdot 6^{2n} + 11 \cdot 3^{n+2} + 11 \cdot 3^n}{11}$$

Так как $\frac{a_n}{11}$ делится на 11, можно заключить, что:

$$a_{n+1} \in \mathbb{Z}$$

Значит, выражение делится на 11 при любом $n \in \mathbb{N}$.

б) $a_n = (5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}) : 19$;

1) Проверка для $n = 1$:

Подставляем $n = 1$ в выражение:

$$a_1 = \frac{5^{2 \cdot 1 + 1} + 3^{1+2} \cdot 2^{1-1}}{19} = \frac{5^3 + 3^3 \cdot 2^0}{19} = \frac{125 + 27 \cdot 1}{19} = \frac{152}{19} = 8$$

Результат делится на 19, что верно.

2) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Аналогично предыдущему шагу, нужно доказать, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выражение $a_n = \frac{5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19}$ делится на 19. Для этого рассмотрим:

$$\frac{a_{n+1}}{19} = \frac{5^{2(n+1)+1} + 3^{(n+1)+2} \cdot 2^{(n+1)-1}}{19}$$

Раскроем выражения:

$$a_{n+1} = \frac{5^{2n+3} + 3^{n+3} \cdot 2^n}{19}$$

Теперь преобразуем:

$$a_{n+1} = \frac{25 \cdot 5^{2n+1} + 6 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19}$$

Преобразуем на аналогичный вид:

$$a_{n+1} = -13 \cdot \frac{5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19} + \frac{38 \cdot 5^{2n+1} + 19 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}}{19}$$

Здесь, так как $\frac{a_n}{19}$ делится на 19, то мы можем заключить:

$$a_{n+1} \in \mathbb{Z}$$

Следовательно, выражение делится на 19 при любом $n \in \mathbb{N}$.

в) $a_n = (5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}) : 59$;

1) Проверка для $n = 1$:

Подставляем $n = 1$:

$$a_1 = \frac{5^{2+1} + 26 \cdot 5^1 + 8^{2 \cdot 1 + 1}}{59} = \frac{5^3 + 26 \cdot 5 + 8^3}{59} = \frac{125 + 130 + 512}{59} = \frac{767}{59} = 13$$

Результат делится на 59, что верно.

2) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Теперь, нужно доказать, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выражение $a_n = \frac{5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}}{59}$ делится на 59. Рассмотрим:

$$\frac{a_{n+1}}{59} = \frac{5^{2+(n+1)} + 26 \cdot 5^{n+1} + 8^{2(n+1)+1}}{59}$$

Раскроем выражения:

$$a_{n+1} = \frac{5^{n+3} + 26 \cdot 5^{n+1} + 8^{2n+3}}{59}$$

Приводим это к более простому виду:

$$a_{n+1} = \frac{5 \cdot 5^{n+2} + 130 \cdot 5^n + 64 \cdot 8^{2n+1}}{59}$$

Теперь разлагаем:

$$a_{n+1} = -54 \cdot \frac{5^{n+2} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}}{59} + \frac{59 \cdot 5^{n+2} + 1534 \cdot 5^n + 118 \cdot 8^{2n+1}}{59}$$

Так как $\frac{a_n}{59}$ делится на 59, то можно заключить:

$$a_{n+1} \in \mathbb{Z}$$

Следовательно, выражение делится на 59 при любом $n \in \mathbb{N}$.

г) $a_n = (5^{n+3} \cdot 2^n — 125) : 45$;

1) Проверка для $n = 1$:

Подставляем $n = 1$:

$$a_1 = \frac{5^{1+3} \cdot 2^1 — 125}{45} = \frac{5^4 \cdot 2 — 125}{45} = \frac{625 \cdot 2 — 125}{45} = \frac{1250 — 125}{45} = \frac{1125}{45} = 25$$

Результат делится на 45, что верно.

2) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Рассмотрим:

$$\frac{a_{n+1}}{45} = \frac{5^{(n+1)+3} \cdot 2^{n+1} — 125}{45}$$

Раскроем выражения:

$$a_{n+1} = \frac{10 \cdot 5^{n+3} \cdot 2^n — 125}{45}$$

Приводим к более простому виду:

$$a_{n+1} = -35 \cdot \frac{5^{n+3} \cdot 2^n — 125}{45} + \frac{45 \cdot 5^{n+3} \cdot 2^n — 4500}{45}$$

Так как $\frac{a_n}{45}$ делится на 45, то заключаем:

$$a_{n+1} \in \mathbb{Z}$$

Следовательно, выражение делится на 45 при любом $n \in \mathbb{N}$.$$