ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $S_n=1+2+4+8+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=2^1-1=2-1=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=2^{n-1}-1;$$$$S_n=2^n-1=2^{n-1+1}-1=2\cdot 2^{n-1}-1=2^{n-1}-1+2^{n-1}=S_{n-1}+2^{n-1};$$

б) $S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}=1,5-\frac{1,5}{3^n}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=1,5-\frac{1,5}{3^1}=1,5-0,5=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=1,5-\frac{1,5}{3^{n-1}}=1,5-\frac{1,5}{3^n:3}=1,5-\frac{1,5\cdot 3}{3^n}=1,5-\frac{4,5}{3^n};$$$$S_n=1,5-\frac{1,5}{3^n}=1,5-\frac{4,5}{3^n}+\frac{3}{3^n}=S_{n-1}+\frac{3}{3^n}=S_{n-1}+\frac{1}{3^{n-1}};$$

(Ошибка в условии, формула $\frac{1}{3^n}$ задает неверную последовательность);

в) $S_n=3-9+27-81+\cdots -(-3{)}^n=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^n)$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^1)=\frac{3}{4}(1+3)=\frac{3}{4}\cdot 4=3;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^{n-1})=\frac{3}{4}-\frac{3\cdot (-3{)}^n}{-3}=\frac{3}{4}+\frac{(-3{)}^n}{4};$$$$S_n=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^n)=\frac{3}{4}-3\cdot \frac{(-3{)}^n}{4}=\frac{3}{4}+\frac{(-3{)}^n}{4}-4\cdot \frac{(-3{)}^n}{4}=S_{n-1}-(-3{)}^n;$$

(Ошибка в условии: формула $+(-3{)}^n$ задает неверную последовательность);

г) $S_n=1+0,1+0,01+0,001+\cdots +0,\underset{n-1}{\underbrace{000\dots 0}}1=1,(1)\cdot (1-0,\underset{n}{\underbrace{000\dots 0}}1)$;

Преобразуем равенство:

$$S_n=0,1^0+0,1^1+0,1^2+0,1^3+\cdots +0,1^{n-1}=\frac{10}{9}\cdot (1-0,1^n);$$$$S_n=0,1^0+0,1^1+0,1^2+0,1^3+\cdots +0,1^{n-1}=\frac{10-0,1^{n-1}}{9};$$

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_n=\frac{10-0,1^{1-1}}{9}=\frac{10-1}{9}=\frac{9}{9}=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{10-0,1^{(n-1)-1}}{9}=\frac{10-0,1^{n-2}}{9};$$$$S_n=\frac{10-0,1^{n-1}}{9}=\frac{10-0,1^{n-2}\cdot 0,1}{9}=\frac{10-0,1^{n-2}+0,9\cdot 0,1^{n-2}}{9}=$$

$$=\frac{10-0,1^{n-2}}{9}+0,1\cdot 0,1^{n-2}=S_{n-1}+0,1^{n-1}$$

а) $S_n=1+2+4+8+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$

Проверим, что формула верна для $n=1$:

Когда $n=1$, последовательность состоит только из одного числа $1$. Таким образом, мы получаем:

$$S_1=1.$$

Теперь подставим $n=1$ в формулу $S_n=2^n-1$:

$$S_1=2^1-1=2-1=1.$$

Очевидно, что формула верна для $n=1$, так как $S_1=1$.

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$:

Для этого будем использовать принцип математической индукции.

База индукции: Мы уже проверили, что формула верна для $n=1$, т.е. $S_1=1$.

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$S_k=2^k-1.$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$. То есть нужно показать, что:

$$S_{k+1}=2^{k+1}-1.$$

По определению последовательности, мы знаем, что:

$$S_{k+1}=1+2+4+\cdots +2^{k-1}+2^k\mathrm{.}$$

Это можно переписать как:

$$S_{k+1}=S_k+2^k\mathrm{.}$$

По индукционному предположению, $S_k=2^k-1$. Подставим это в выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=(2^k-1)+2^k=2^k+2^k-1=2\cdot 2^k-1=2^{k+1}-1.$$

Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

Заключение: По принципу математической индукции, формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

б) $S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}=1,5-\frac{1,5}{3^n}$

Проверим, что формула верна для $n=1$:

Когда $n=1$, последовательность состоит из одного числа $1$:

$$S_1=1.$$

Теперь подставим $n=1$ в формулу:

$$S_1=1,5-\frac{1,5}{3^1}=1,5-0,5=1.$$

Формула верна для $n=1$.

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства будем использовать принцип математической индукции.

База индукции: Мы уже проверили, что формула верна для $n=1$.

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$S_k=1,5-\frac{1,5}{3^k}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$. То есть нужно показать, что:

$$S_{k+1}=1,5-\frac{1,5}{3^{k+1}}\mathrm{.}$$

По определению последовательности:

$$S_{k+1}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^{k-1}}+\frac{1}{3^k}\mathrm{.}$$

Это можно переписать как:

$$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{3^k}\mathrm{.}$$

По индукционному предположению, $S_k=1,5-\frac{1,5}{3^k}$. Подставим это в выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=(1,5-\frac{1,5}{3^k})+\frac{1}{3^k}=1,5-\frac{1,5}{3^k}+\frac{1}{3^k}=1,5-\frac{1,5-1}{3^k}=1,5-\frac{1,5}{3^{k+1}}\mathrm{.}$$

Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

Заключение: По принципу математической индукции, формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

в) $S_n=3-9+27-81+\cdots -(-3{)}^n=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^n)$

Проверим, что формула верна для $n=1$:

Когда $n=1$, последовательность состоит только из одного числа $3$:

$$S_1=3.$$

Теперь подставим $n=1$ в формулу:

$$S_1=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^1)=\frac{3}{4}(1+3)=\frac{3}{4}\cdot 4=3.$$

Формула верна для $n=1$.

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем принцип математической индукции.

База индукции: Мы уже проверили, что формула верна для $n=1$.

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^k)\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$. То есть нужно показать, что:

$$S_{k+1}=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^{k+1})\mathrm{.}$$

По определению последовательности:

$$S_{k+1}=3-9+27-81+\cdots +(-3{)}^k\mathrm{.}$$

Это можно переписать как:

$$S_{k+1}=S_k+(-3{)}^k\mathrm{.}$$

По индукционному предположению, $S_k=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^k)$. Подставим это в выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^k)+(-3{)}^k=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^k+4\cdot (-3{)}^k)=\frac{3}{4}(1-(-3{)}^{k+1})\mathrm{.}$$

Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

Заключение: По принципу математической индукции, формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

г) $S_n=1+0,1+0,01+0,001+\cdots +0,\underset{n-1}{\underbrace{000\dots 0}}1=1,(1)\cdot (1-0,\underset{n}{\underbrace{000\dots 0}}1)$

Преобразуем выражение:

Рассмотрим сумму:

$$S_n=1+0,1+0,01+0,001+\cdots +0,1^{n-1}\mathrm{.}$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $a=1$ и знаменателем $q=0,1$, поэтому ее сумма вычисляется по формуле для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{1(1-0,1^n)}{1-0,1}=\frac{1-0,1^n}{0,9}=\frac{10-0,1^n}{9}\mathrm{.}$$

Проверим, что формула верна для $n=1$:

Когда $n=1$, последовательность состоит только из одного числа $1$:

$$S_1=1.$$

Теперь подставим $n=1$ в формулу:

$$S_1=\frac{10-0,1^1}{9}=\frac{10-0,1}{9}=\frac{9,9}{9}=1.$$

Формула верна для $n=1$.

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем принцип математической индукции.

База индукции: Мы уже проверили, что формула верна для $n=1$.

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{10-0,1^k}{9}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$. То есть нужно показать, что:

$$S_{k+1}=\frac{10-0,1^{k+1}}{9}\mathrm{.}$$

По определению последовательности:

$$S_{k+1}=1+0,1+0,01+\cdots +0,1^k\mathrm{.}$$

Это можно переписать как:

$$S_{k+1}=S_k+0,1^k\mathrm{.}$$

По индукционному предположению, $S_k=\frac{10-0,1^k}{9}$. Подставим это в выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=\frac{10-0,1^k}{9}+0,1^k=\frac{10-0,1^k+0,1^k\cdot 9}{9}=\frac{10-0,1^{k+1}}{9}\mathrm{.}$$

Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

Заключение: По принципу математической индукции, формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$.