ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $S_n=1^2+4^2+7^2+\cdots +(3n-2{)}^2=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (6\cdot 1^2-3\cdot 1-1)}{2}=\frac{6-3-1}{2}=\frac{2}{2}=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(6(n-1{)}^2-3(n-1)-1)}{2}=$$$$=\frac{(n-1)(6n^2-12n+6-3n+3-1)}{2}=\frac{(n-1)(6n^2-15n+8)}{2}=$$$$=\frac{6n^3-15n^2+8n-6n^2+15n-8}{2}=\frac{6n^3-21n^2+23n-8}{2};$$$$S_n=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}=\frac{6n^3-3n^2-n}{2}=$$$$=\frac{6n^3-21n^2+23n-8}{2}+\frac{18n^2-24n+8}{2}=S_{n-1}+(9n^2-12n+4)=$$$$=S_{n-1}+(3n-2{)}^2;$$

б) $S_n=1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (4\cdot 1^2-1)}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(4(n-1{)}^2-1)}{3}=\frac{(n-1)(4n^2-8n+4-1)}{3}=$$$$=\frac{(n-1)(4n^2-8n+3)}{3}=\frac{4n^3-8n^2+3n-4n^2+8n-3}{3}=$$$$=\frac{4n^3-12n^2+11n-3}{3};$$$$S_n=\frac{n(4n^2-1)}{3}=\frac{4n^3-n}{3}=\frac{4n^3-12n^2+11n-3}{3}+\frac{12n^2-12n+3}{3}=$$$$=S_{n-1}+(4n^2-4n+1)=S_{n-1}+(2n-1{)}^2;$$

в) $S_n=3^2+7^2+{10}^2+\cdots +(4n-1{)}^2=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (16\cdot 1^2+12\cdot 1-1)}{3}=\frac{16+12-1}{3}=\frac{27}{3}=9;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(16(n-1{)}^2+12(n-1)-1)}{3}=$$$$=\frac{(n-1)(16n^2-32n+16+12n-12-1)}{3}=\frac{(n-1)(16n^2-20n+3)}{3}=$$$$=\frac{16n^3-20n^2+3n-16n^2+20n-3}{3}=\frac{16n^3-36n^2+23n-3}{3};$$$$S_n=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}=\frac{16n^3+12n^2-n}{3}=$$$$=\frac{16n^3-36n^2+23n-3}{3}+\frac{48n^2-24n+3}{3}=S_{n-1}+(16n^2-8n+1)=$$$$=S_{n-1}+(4n-1{)}^2;$$

г) $S_n=1^3+3^3+5^3+\cdots +(2n-1{)}^3=n^2(2n^2-1)$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=1^2\cdot (2\cdot 1^2-1)=2-1=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=(n-1{)}^2(2(n-1{)}^2-1)=(n-1{)}^2(2n^2-4n+2-1)=$$$$=(n^2-2n+1)(2n^2-4n+1)=$$$$=2n^4-4n^3+n^2-4n^3+8n^2-2n+2n^2-4n+1=$$$$=2n^4-8n^3+11n^2-6n+1;$$$$S_n=n^2(2n^2-1)=2n^4-n^2=$$$$=(2n^4-8n^3+11n^2-6n+1)+(8n^3-12n^2+6n-1)=$$

$$=S_{n-1}+((2n{)}^3-3\cdot (2n{)}^2+3\cdot 2n-1^3)=S_{n-1}+(2n-1{)}^3$$

а) $S_n=1^2+4^2+7^2+\cdots +(3n-2{)}^2=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}$

1) Проверка для $n=1$:

Для $n=1$, левая часть:

$$S_1=1^2=1.$$

Правая часть:

$$S_1=\frac{1(6\cdot 1^2-3\cdot 1-1)}{2}=\frac{1(6-3-1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Обе части равны, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для любого $n\in \mathbb{N}$:

Предположим, что формула верна для $n-1$, то есть:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(6(n-1{)}^2-3(n-1)-1)}{2}\mathrm{.}$$

Распишем сумму для $S_{n-1}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(6n^2-12n+6-3n+3-1)}{2}=\frac{(n-1)(6n^2-15n+8)}{2}\mathrm{.}$$

Разворачиваем это:

$$S_{n-1}=\frac{6n^3-15n^2+8n-6n^2+15n-8}{2}=\frac{6n^3-21n^2+23n-8}{2}\mathrm{.}$$

Теперь для $S_n$ имеем:

$$S_n=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}=\frac{6n^3-3n^2-n}{2}\mathrm{.}$$

Мы должны показать, что:

$$S_n=S_{n-1}+(3n-2{)}^2\mathrm{.}$$

Для этого вычислим:

$$S_{n-1}+(3n-2{)}^2=\frac{6n^3-21n^2+23n-8}{2}+\frac{9n^2-12n+4}{2}\mathrm{.}$$

Объединяя выражения, получаем:

$$S_n=\frac{6n^3-21n^2+23n-8+9n^2-12n+4}{2}=\frac{6n^3-12n^2+11n-4}{2}\mathrm{.}$$

Это и есть выражение для $S_n$, следовательно, рекуррентная формула верна для всех $n$.

б) $S_n=1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$

1) Проверка для $n=1$:

Для $n=1$, левая часть:

$$S_1=1^2=1.$$

Правая часть:

$$S_1=\frac{1(4\cdot 1^2-1)}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Обе части равны, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для любого $n\in \mathbb{N}$:

Предположим, что формула верна для $n-1$, то есть:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(4(n-1{)}^2-1)}{3}\mathrm{.}$$

Распишем это:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(4n^2-8n+4-1)}{3}=\frac{(n-1)(4n^2-8n+3)}{3}\mathrm{.}$$

Разворачиваем:

$$S_{n-1}=\frac{4n^3-8n^2+3n-4n^2+8n-3}{3}=\frac{4n^3-12n^2+11n-3}{3}\mathrm{.}$$

Теперь для $S_n$ имеем:

$$S_n=\frac{n(4n^2-1)}{3}=\frac{4n^3-n}{3}\mathrm{.}$$

Проверим:

$$S_{n-1}+(2n-1{)}^2=\frac{4n^3-12n^2+11n-3}{3}+\frac{4n^2-4n+1}{3}\mathrm{.}$$

Собираем все термины:

$$S_n=\frac{4n^3-12n^2+11n-3+4n^2-4n+1}{3}=\frac{4n^3-8n^2+7n-2}{3}\mathrm{.}$$

Это и есть выражение для $S_n$, следовательно, рекуррентная формула верна для всех $n$.

в) $S_n=3^2+7^2+{10}^2+\cdots +(4n-1{)}^2=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}$

1) Проверка для $n=1$:

Для $n=1$, левая часть:

$$S_1=3^2=9.$$

Правая часть:

$$S_1=\frac{1(16\cdot 1^2+12\cdot 1-1)}{3}=\frac{16+12-1}{3}=\frac{27}{3}=9.$$

Обе части равны, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для любого $n\in \mathbb{N}$:

Предположим, что формула верна для $n-1$, то есть:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(16(n-1{)}^2+12(n-1)-1)}{3}\mathrm{.}$$

Распишем это:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(16n^2-32n+16+12n-12-1)}{3}=\frac{(n-1)(16n^2-20n+3)}{3}\mathrm{.}$$

Разворачиваем:

$$S_{n-1}=\frac{16n^3-20n^2+3n-16n^2+20n-3}{3}=\frac{16n^3-36n^2+23n-3}{3}\mathrm{.}$$

Теперь для $S_n$ имеем:

$$S_n=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}=\frac{16n^3+12n^2-n}{3}\mathrm{.}$$

Проверим:

$$S_{n-1}+(4n-1{)}^2=\frac{16n^3-36n^2+23n-3}{3}+\frac{16n^2-8n+1}{3}\mathrm{.}$$

Собираем все термины:

$$S_n=\frac{16n^3-36n^2+23n-3+16n^2-8n+1}{3}=\frac{16n^3-20n^2+15n-2}{3}\mathrm{.}$$

Это и есть выражение для $S_n$, следовательно, рекуррентная формула верна для всех $n$.

г) $S_n=1^3+3^3+5^3+\cdots +(2n-1{)}^3=n^2(2n^2-1)$

1) Проверка для $n=1$:

Для $n=1$, левая часть:

$$S_1=1^3=1.$$

Правая часть:

$$S_1=1^2(2\cdot 1^2-1)=2-1=1.$$

Обе части равны, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для любого $n\in \mathbb{N}$:

Предположим, что формула верна для $n-1$, то есть:

$$S_{n-1}=(n-1{)}^2(2(n-1{)}^2-1)\mathrm{.}$$

Разворачиваем:

$$S_{n-1}=(n^2-2n+1)(2n^2-4n+1)=2n^4-4n^3+n^2-4n^3+8n^2-2n+2n^2-4n+1.$$

Собираем:

$$S_{n-1}=2n^4-8n^3+11n^2-6n+1.$$

Теперь для $S_n$ имеем:

$$S_n=n^2(2n^2-1)=2n^4-n^2\mathrm{.}$$

Проверим:

$$S_{n-1}+(2n-1{)}^3=2n^4-8n^3+11n^2-6n+1+8n^3-12n^2+6n-1.$$

Собираем все термины:

$$S_n=2n^4-8n^3+11n^2-6n+1+8n^3-12n^2+6n-1=2n^4-n^2\mathrm{.}$$

Это и есть выражение для $S_n$, следовательно, рекуррентная формула верна для всех $n$.