ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = |x|$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq 0$;

Координаты вершины модуля:

$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $y = |x + 2|$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq 0$;

Координаты вершины модуля:

$x_0 = -2$ и $y_0 = 0$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

График функции:

в) $y = |x| — 3$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq -3$;

Координаты вершины модуля:

$x_0 = 0$ и $y_0 = -3$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & -3 & -2 \\ \end{array}$$

График функции:

г) $y = |x — 1| + 2$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq 2$;

Координаты вершины модуля:

$x_0 = 1$ и $y_0 = 2$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 2 & 3 \\ \end{array}$$

График функции:

а) $y = |x|$

1. Область определения:

• Функция $y = |x|$ определена для всех действительных чисел. Модуль числа $|x|$ всегда существует, независимо от того, является ли $x$ положительным или отрицательным.
• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.

2. Множество значений:

• Модуль числа всегда неотрицателен, так как он выражает расстояние от точки $x$ до нуля на числовой оси. Поэтому:
  • $y \geq 0$.

3. Координаты вершины:

• Вершина функции — это точка, где значение функции минимально. Поскольку модуль числа принимает минимальное значение при $x = 0$, то:
  • $x_0 = 0$ и $y_0 = |0| = 0$.
• Вершина функции находится в начале координат $(0, 0)$.

4. Координаты некоторых точек:

• Чтобы найти другие точки, подставим несколько значений для $x$:
  • При $x = -1$, $y = |x| = 1$.
  • При $x = 0$, $y = |x| = 0$.
  • При $x = 1$, $y = |x| = 1$.
• Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

5. График функции:

• График функции представляет собой «V»-образную линию, которая симметрична относительно оси $y$. Он имеет вершину в точке $(0, 0)$, и для значений $x$ меньше нуля линия идет вверх вправо, а для значений $x$ больше нуля — вверх влево.

б) $y = |x + 2|$

1. Область определения:

• Модуль числа всегда существует для любых значений $x$, так что область определения:
  • $x \in \mathbb{R}$.

2. Множество значений:

• Поскольку модуль всегда неотрицателен, то:
  • $y \geq 0$.

3. Координаты вершины:

• Вершина функции — это точка, в которой значение функции минимально. Модуль достигает минимального значения, когда его аргумент равен нулю. В данном случае аргумент модуля — это $x + 2$, который будет равен нулю при $x = -2$.
  • Таким образом, вершина функции: $x_0 = -2$, $y_0 = |x_0 + 2| = |(-2) + 2| = 0$.
• Вершина функции находится в точке $(-2, 0)$.

4. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$:
  • При $x = -3$, $y = |-3 + 2| = 1$.
  • При $x = -2$, $y = |-2 + 2| = 0$.
  • При $x = -1$, $y = |-1 + 2| = 1$.
• Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

5. График функции:

• График функции представляет собой «V»-образную линию с вершиной в точке $(-2, 0)$, направленную вверх. Он симметричен относительно вертикальной прямой $x = -2$.

в) $y = |x| — 3$

1. Область определения:

• Функция по-прежнему определена для всех действительных чисел, так как это модуль. Следовательно:
  • $x \in \mathbb{R}$.

2. Множество значений:

• Поскольку модуль всегда неотрицателен, минимальное значение $y$ будет равно $-3$ (если $x = 0$, то $y = |0| — 3 = -3$). Таким образом:
  • $y \geq -3$.

3. Координаты вершины:

• Вершина функции $y = |x| — 3$ достигается при $x = 0$, так как модуль минимален при $x = 0$. Подставив $x = 0$, получаем:
  • $y_0 = |0| — 3 = -3$.
  • Вершина функции: $(0, -3)$.

4. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$:
  • При $x = -1$, $y = |(-1)| — 3 = 1 — 3 = -2$.
  • При $x = 0$, $y = |0| — 3 = -3$.
  • При $x = 1$, $y = |1| — 3 = 1 — 3 = -2$.
• Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & -3 & -2 \\ \end{array}$$

5. График функции:

• График функции — это «V»-образная линия, с вершиной в точке $(0, -3)$, направленная вверх. Она симметрична относительно оси $y$.

г) $y = |x — 1| + 2$

1. Область определения:

• Модуль функции всегда существует, следовательно:
  • $x \in \mathbb{R}$.

2. Множество значений:

• Минимальное значение функции достигается при $x = 1$, так как в этом случае $|x — 1| = 0$, и тогда $y = 0 + 2 = 2$. Таким образом:
  • $y \geq 2$.

3. Координаты вершины:

• Вершина функции — это точка, где $x = 1$, так как в этой точке выражение $|x — 1|$ равно нулю.
  • Вершина функции: $(1, 2)$.

4. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$:
  • При $x = 0$, $y = |0 — 1| + 2 = 1 + 2 = 3$.
  • При $x = 1$, $y = |1 — 1| + 2 = 0 + 2 = 2$.
  • При $x = 2$, $y = |2 — 1| + 2 = 1 + 2 = 3$.
• Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 2 & 3 \\ \end{array}$$

5. График функции:

• График функции представляет собой «V»-образную линию с вершиной в точке $(1, 2)$. Он симметричен относительно вертикальной прямой $x = 1$.