ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{\sqrt{x — 12}}{x^2 — 1}$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 12 \geq 0;$$ $$x \geq 12;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 1 \neq 0;$$ $$x^2 \neq 1;$$ $$x \neq \pm 1;$$

Ответ: $D(f) = [12; +\infty)$.

б) $y = \frac{1 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}}$

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0;$$ $$x^2 + 7x — 8 \leq 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 31, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1;$$ $$(x + 8)(x — 1) \leq 0;$$ $$-8 \leq x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 + \sqrt{x + 9} \neq 0;$$ $$\sqrt{x + 9} \neq -1;$$ $$x + 9 \geq 0;$$ $$x \geq -9;$$

Ответ: $D = [-8; 1]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 — 1}$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 12 \geq 0;$$ $$x \geq -12;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 1 \neq 0;$$ $$x^2 \neq 1;$$ $$x \neq \pm 1;$$

Ответ: $D(f) = [-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) $y = \frac{x — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}$

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0;$$ $$x^2 + 7x — 8 \leq 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 31, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1;$$ $$(x + 8)(x — 1) \leq 0;$$ $$-8 \leq x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 + \sqrt{x + 3} \neq 0;$$ $$\sqrt{x + 3} \neq -1;$$ $$x + 3 \geq 0;$$ $$x \geq -3;$$

Ответ: $D = [-3; 1]$.

а) $y = \frac{\sqrt{x — 12}}{x^2 — 1}$

Для того чтобы определить область определения функции, нужно, чтобы оба выражения (в числителе и знаменателе) были корректными:

1) Числитель: $\sqrt{x — 12}$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$x — 12 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 12.$$

2) Знаменатель: $x^2 — 1$

Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Для этого решим неравенство:

$$x^2 — 1 \neq 0.$$

Это уравнение можно решить через разложение на множители:

$$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) = 0.$$

Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно, выражение $x^2 — 1 \neq 0$ при $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Совмещение условий:

• $x \geq 12$ из условия числителя.
• $x \neq 1$ и $x \neq -1$ из условия знаменателя, но эти значения уже не пересекаются с областью, где $x \geq 12$.

Ответ: $D(f) = [12; +\infty)$.

б) $y = \frac{1 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}}$

Для того чтобы найти область определения, рассмотрим каждое выражение отдельно:

1) Числитель: $1 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0.$$

Умножим обе стороны на $-1$ (при этом неравенство меняет знак):

$$x^2 + 7x — 8 \leq 0.$$

Теперь решим это неравенство с помощью дискриминанта для квадратного уравнения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 — 9}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1.$$

Следовательно, неравенство $x^2 + 7x — 8 \leq 0$ выполняется при:

$$-8 \leq x \leq 1.$$

2) Знаменатель: $1 + \sqrt{x + 9}$

Для того чтобы выражение в знаменателе не равно нулю, нужно, чтобы:

$$1 + \sqrt{x + 9} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x + 9} \neq -1.$$

Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то данное неравенство всегда выполняется при $x \geq -9$. Таким образом, ограничений по знаменателю нет.

Совмещение условий:

• $-8 \leq x \leq 1$ из условия числителя.
• $x \geq -9$ из условия знаменателя (оно уже выполнено для всех значений из первого условия).

Ответ: $D = [-8; 1]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 — 1}$

1) Числитель: $\sqrt{x + 12}$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо:

$$x + 12 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -12.$$

2) Знаменатель: $x^2 — 1$

Знаменатель не должен быть равен нулю, для этого решим:

$$x^2 — 1 \neq 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) = 0.$$

Корни: $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Совмещение условий:

• $x \geq -12$ из условия числителя.
• $x \neq 1$ и $x \neq -1$ из условия знаменателя.

Ответ: $D(f) = [-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) $y = \frac{x — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}$

1) Числитель: $x — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0.$$

Умножим обе стороны на $-1$ (при этом неравенство меняет знак):

$$x^2 + 7x — 8 \leq 0.$$

Решение этого неравенства аналогично предыдущему:

• Дискриминант:

  $$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 81.$$

• Корни:

  $$x_1 = -8, \quad x_2 = 1.$$

• Решение:

  $$-8 \leq x \leq 1.$$

2) Знаменатель: $1 + \sqrt{x + 3}$

Для того чтобы знаменатель не равнялся нулю, нужно, чтобы:

$$1 + \sqrt{x + 3} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x + 3} \neq -1.$$

Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то данное неравенство всегда выполняется при $x \geq -3$.

Совмещение условий:

• $-8 \leq x \leq 1$ из условия числителя.
• $x \geq -3$ из условия знаменателя.

Ответ: $D = [-3; 1]$.