ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $f(x) = 2 — \sqrt{1 — x}$; $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$. Найдите область определения функции:

а) $y = f(x) + g(x)$;

б) $y = f(x) — g(x)$;

в) $y = \frac{f(x)}{g(x)}$;

г) $y = \frac{g(x)}{f(x)}$.

$f(x) = 2 — \sqrt{1 — x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$1 — x \geq 0;$$ $$x \leq 1;$$ $$D(f) = (-\infty; 1].$$

$g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$3 + x \neq 0;$$ $$x \neq -3;$$ $$D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty);$$

а) $y = f(x) + g(x)$;

$$D(y) = D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1];$$

б) $y = f(x) — g(x)$;

$$D(y) = D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1];$$

в) $y = \frac{f(x)}{g(x)} = (2 — \sqrt{1 — x}) \cdot \frac{3 + x}{1 + 2x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$1 + 2x \neq 0;$$ $$2x \neq -1;$$ $$x \neq -0,5;$$ $$D(y) = D(f) \cap D(g) \cap ((-\infty; -0,5) \cup (-0,5; +\infty));$$ $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -0,5) \cup (0,5; 1];$$

г) $y = \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1 + 2x}{(3 + x)(2 — \sqrt{1 — x})}$;

Выражение имеет смысл при:

$$2 — \sqrt{1 — x} \neq 0;$$ $$\sqrt{1 — x} \neq 2;$$ $$1 — x \neq 4;$$ $$x \neq -3;$$ $$D(y) = D(f) \cap D(g) \cap ((-\infty; -3) \cup (-3; +\infty));$$ $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$$

1. Функция $f(x) = 2 — \sqrt{1 — x}$:

• Рассмотрим выражение $\sqrt{1 — x}$. Чтобы извлечь квадратный корень из числа, оно должно быть неотрицательным. Следовательно, для того чтобы выражение было определено, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть:

  $$1 — x \geq 0.$$

  Это условие можно переписать как:

  $$x \leq 1.$$

• Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это все значения $x$, удовлетворяющие неравенству $x \leq 1$. То есть:

  $$D(f) = (-\infty; 1].$$

2. Функция $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$:

• Рассмотрим знаменатель $3 + x$. Для того чтобы выражение $g(x)$ было определено, знаменатель не должен равняться нулю. Следовательно, нужно выполнить условие:

  $$3 + x \neq 0.$$

  Это можно записать как:

  $$x \neq -3.$$

• Таким образом, область определения функции $g(x)$ — это все значения $x$, кроме $x = -3$:

  $$D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty).$$

а) $y = f(x) + g(x)$:

• Область определения суммы двух функций $f(x)$ и $g(x)$ — это пересечение их областей определения. Мы уже нашли:
  • $D(f) = (-\infty; 1]$,
  • $D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
• Пересечем эти два множества:

  $$D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

• Таким образом, область определения функции $y = f(x) + g(x)$ равна:

  $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

б) $y = f(x) — g(x)$:

• Область определения разности двух функций $f(x)$ и $g(x)$ также будет пересечением их областей определения. Так как области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ те же, что и для суммы, то:

  $$D(f) = (-\infty; 1], \quad D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty).$$

• Пересечем эти два множества:

  $$D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

• Таким образом, область определения функции $y = f(x) — g(x)$ равна:

  $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

в) $y = \frac{f(x)}{g(x)} = (2 — \sqrt{1 — x}) \cdot \frac{3 + x}{1 + 2x}$:

• Чтобы дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ была определена, должны выполняться два условия:
  1. Функция $f(x)$ должна быть определена, то есть $x \leq 1$.
  2. Функция $g(x)$ не должна быть равна нулю, то есть знаменатель $g(x)$ должен быть отличен от нуля. Для этого нужно, чтобы:

     $$1 + 2x \neq 0,$$

     что дает:

     $$x \neq -0,5.$$

• Таким образом, выражение для $y$ имеет смысл при:
  • $x \leq 1$ (из области определения функции $f(x)$),
  • $x \neq -0,5$ (чтобы знаменатель $g(x)$ не обращался в ноль).
• Пересечем области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ с дополнительным условием $x \neq -0,5$:

  $$D(f) = (-\infty; 1], \quad D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty), \quad x \neq -0,5.$$

• Пересечем $D(f)$ и $D(g)$ (так же, как и в предыдущих пунктах):

  $$D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

• Теперь исключим $x = -0,5$, что дает:

  $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -0,5) \cup (-0,5; 1].$$

• Таким образом, область определения функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ равна:

  $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -0,5) \cup (-0,5; 1].$$

г) $y = \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1 + 2x}{(3 + x)(2 — \sqrt{1 — x})}$:

• Чтобы дробь $\frac{g(x)}{f(x)}$ была определена, должны выполняться следующие условия:
  1. Функция $f(x)$ не должна быть равна нулю. Для этого нужно, чтобы:

     $$2 — \sqrt{1 — x} \neq 0.$$

     Это условие можно переписать как:

     $$\sqrt{1 — x} \neq 2.$$

     Возведем обе стороны в квадрат:

     $$1 — x \neq 4,$$

     что дает:

     $$x \neq -3.$$

  2. Функция $g(x)$ должна быть определена, то есть:

     $$x \neq -3.$$

• Таким образом, для того чтобы дробь была определена, необходимо:
  • $x \neq -3$,
  • $x \neq -3$ (что уже учтено),
  • $x \neq 1$ (из области определения $f(x)$).
• Пересечем области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ с дополнительным условием $x \neq -3$:

  $$D(f) = (-\infty; 1], \quad D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty).$$

• Пересечем $D(f)$ и $D(g)$ (так же, как и в предыдущих пунктах):

  $$D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

• Таким образом, область определения функции $y = \frac{g(x)}{f(x)}$ равна:

  $$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1].$$

Итоговые ответы:

• $D(f) = (-\infty; 1]$
• $D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$
• $D(f) \cap D(g) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$
• $D(y = f(x) + g(x)) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$
• $D(y = f(x) — g(x)) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$
• $D(y = \frac{f(x)}{g(x)}) = (-\infty; -3) \cup (-3; -0,5) \cup (-0,5; 1]$
• $D(y = \frac{g(x)}{f(x)}) = (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$