ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 1 — \frac{2}{x}$;

$xy = x — 2$;

$xy — x = -2$;

$x(y — 1) = -2$;

$x = \frac{-2}{y — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$y — 1 \neq 0$;

$y \neq 1$;

Ответ: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{x — 1}{x + 1}$;

$y(x + 1) = x — 1$;

$yx + y = x — 1$;

$yx — x = -1 — y$;

$x(y — 1) = -1 — y$;

$x = \frac{-1 — y}{y — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$y — 1 \neq 0$;

$y \neq 1$;

Ответ: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \frac{3}{x} — 12$;

$yx = 3 — 12x$;

$yx + 12x = 3$;

$x(y + 12) = 3$;

$x = \frac{3}{y + 12}$;

Выражение имеет смысл при:

$y + 12 \neq 0$;

$y \neq -12$;

Ответ: $E(f) = (-\infty; -12) \cup (-12; +\infty)$.

г) $y = \frac{4x}{12x + 5}$;

$y(12x + 5) = 4x$;

$12xy + 5y = 4x$;

$12xy — 4x = -5y$;

$x(12y — 4) = -5y$;

$x = \frac{-5y}{12y — 4}$;

Выражение имеет смысл при:

$12y — 4 \neq 0$;

$12y \neq 4$;

$y \neq \frac{1}{3}$;

Ответ: $E(f) = \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$.

а) $y = 1 — \frac{2}{x}$

Нам необходимо выразить $x$ через $y$.

Шаг 1. Перепишем уравнение

Начнем с выражения функции:

$$y = 1 — \frac{2}{x}.$$

Переносим $1$ на правую сторону:

$$y — 1 = — \frac{2}{x}.$$

Умножаем обе стороны на $-1$, чтобы избавиться от минуса:

$$1 — y = \frac{2}{x}.$$

Теперь, чтобы выразить $x$, инвертируем обе стороны:

$$x = \frac{2}{1 — y}.$$

Шаг 2. Условие, при котором выражение имеет смысл

Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю:

$$1 — y \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 1.$$

Таким образом, выражение будет иметь смысл при $y \neq 1$.

Шаг 3. Область значений функции

Из условия, что $y \neq 1$, можно заключить, что область значений функции будет:

$$E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).$$

Ответ для части (а):

$$E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).$$

б) $y = \frac{x — 1}{x + 1}$

Здесь нужно выразить $x$ через $y$.

Шаг 1. Перепишем уравнение

Начнем с выражения функции:

$$y = \frac{x — 1}{x + 1}.$$

Умножим обе стороны на $x + 1$ (предполагая, что $x \neq -1$, чтобы избежать деления на ноль):

$$y(x + 1) = x — 1.$$

Распишем скобки:

$$yx + y = x — 1.$$

Переносим все $x$-слагаемые на одну сторону:

$$yx — x = -1 — y.$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(y — 1) = -1 — y.$$

Теперь выражаем $x$:

$$x = \frac{-1 — y}{y — 1}.$$

Шаг 2. Условие, при котором выражение имеет смысл

Знаменатель $y — 1$ не должен быть равен нулю, поэтому:

$$y — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 1.$$

Таким образом, выражение будет иметь смысл при $y \neq 1$.

Шаг 3. Область значений функции

Таким образом, область значений функции будет:

$$E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).$$

Ответ для части (б):

$$E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty).$$

в) $y = \frac{3}{x} — 12$

Нам нужно выразить $x$ через $y$.

Шаг 1. Перепишем уравнение

Начнем с выражения функции:

$$y = \frac{3}{x} — 12.$$

Переносим $-12$ на правую сторону:

$$y + 12 = \frac{3}{x}.$$

Теперь инвертируем обе стороны, чтобы выразить $x$:

$$x = \frac{3}{y + 12}.$$

Шаг 2. Условие, при котором выражение имеет смысл

Знаменатель $y + 12$ не должен быть равен нулю, поэтому:

$$y + 12 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq -12.$$

Таким образом, выражение будет иметь смысл при $y \neq -12$.

Шаг 3. Область значений функции

Таким образом, область значений функции будет:

$$E(f) = (-\infty; -12) \cup (-12; +\infty).$$

Ответ для части (в):

$$E(f) = (-\infty; -12) \cup (-12; +\infty).$$

г) $y = \frac{4x}{12x + 5}$

Нам нужно выразить $x$ через $y$.

Шаг 1. Перепишем уравнение

Начнем с выражения функции:

$$y = \frac{4x}{12x + 5}.$$

Умножим обе стороны на $12x + 5$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$y(12x + 5) = 4x.$$

Раскроем скобки:

$$12xy + 5y = 4x.$$

Переносим все $x$-слагаемые на одну сторону:

$$12xy — 4x = -5y.$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(12y — 4) = -5y.$$

Теперь выражаем $x$:

$$x = \frac{-5y}{12y — 4}.$$

Шаг 2. Условие, при котором выражение имеет смысл

Знаменатель $12y — 4$ не должен быть равен нулю, поэтому:

$$12y — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 12y \neq 4 \quad \Rightarrow \quad y \neq \frac{1}{3}.$$

Таким образом, выражение будет иметь смысл при $y \neq \frac{1}{3}$.

Шаг 3. Область значений функции

Таким образом, область значений функции будет:

$$E(f) = \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right).$$

Ответ для части (г):

$$E(f) = \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right).$$

Итоговые ответы:

а) $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $E(f) = (-\infty; -12) \cup (-12; +\infty)$.

г) $E(f) = \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right).$