ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) 

$$f(x)=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}+\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}+\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}+\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}$$

Если $x<0$, тогда:

$$f(x)=\frac{-x}{x}+\frac{-(x-1)}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}+\frac{-(x-3)}{x-3}=-1-1-1-1=-4$$

Если $0\le x<1$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}+\frac{-(x-1)}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}+\frac{-(x-3)}{x-3}=1-1-1-1=-2$$

Если $1\le x<2$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}+\frac{-(x-3)}{x-3}=1+1-1-1=0$$

Если $2\le x<3$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{x-2}{x-2}+\frac{-(x-3)}{x-3}=1+1+1-1=2$$

Если $x\ge 3$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{x-2}{x-2}+\frac{x-3}{x-3}=1+1+1+1=4$$

Ответ:

$$E(f)=\{\pm 4;\pm 2;0\}$$

б)

$$f(x)=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}-\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}+\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}-\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}$$

Если $x<0$, тогда:

$$f(x)=\frac{-x}{x}-\frac{-(x-1)}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}-\frac{-(x-3)}{x-3}=-1+1-1+1=0$$

Если $0\le x<1$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}-\frac{-(x-1)}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}-\frac{-(x-3)}{x-3}=1+1-1+1=2$$

Если $1\le x<2$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x-1}+\frac{-(x-2)}{x-2}-\frac{-(x-3)}{x-3}=1-1-1+1=0$$

Если $2\le x<3$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x-1}+\frac{x-2}{x-2}-\frac{-(x-3)}{x-3}=1-1+1+1=2$$

Если $x\ge 3$, тогда:

$$f(x)=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x-1}+\frac{x-2}{x-2}-\frac{x-3}{x-3}=1-1+1-1=0$$

Ответ:

$$E(f)=\{0;2\}$$

а)

$$f(x)=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}+\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}+\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}+\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}$$

Рассмотрим поведение функции для различных интервалов значений $x$. Важно заметить, что каждая из частей функции включает абсолютные величины, которые могут изменяться в зависимости от знака чисел, стоящих в числителе. Таким образом, для разных значений $x$ нам нужно будет учитывать разные знаки чисел, участвующих в выражениях.

Если $x<0$:

Для $x<0$ все выражения вида $\frac{\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }}{x-k}$ (где $k=0,1,2,3$) принимают вид:

$$\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=\frac{-x}{x}=-1,\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1,$$

$$\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1,\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1.$$

Таким образом, для $x<0$:

$$f(x)=-1-1-1-1=-4.$$

Если $0\le x<1$:

Для $0\le x<1$, выражение $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$, так как $x\ge 0$, а вот для остальных членов:

• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$, так как $x-1<0$ при $0\le x<1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1$, так как $x-2<0$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1$, так как $x-3<0$.

Таким образом, для $0\le x<1$:

$$f(x)=1-1-1-1=-2.$$

Если $1\le x<2$:

Для $1\le x<2$, выражения $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$, так как $x-1\ge 0$. Для остальных выражений:

• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1$, так как $x-2<0$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1$, так как $x-3<0$.

Таким образом, для $1\le x<2$:

$$f(x)=1+1-1-1=0.$$

Если $2\le x<3$:

Для $2\le x<3$, выражения $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=1$, так как все эти выражения положительные при $x\ge 2$. Для последнего члена:

• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1$, так как $x-3<0$.

Таким образом, для $2\le x<3$:

$$f(x)=1+1+1-1=2.$$

Если $x\ge 3$:

Для $x\ge 3$, все выражения $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=1$, $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=1$, так как все числители и знаменатели положительные для $x\ge 3$.

Таким образом, для $x\ge 3$:

$$f(x)=1+1+1+1=4.$$

Ответ:

$$E(f)=\{\pm 4;\pm 2;0\}$$

б)

$$f(x)=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}-\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}+\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}-\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}$$

Здесь структура аналогична, но знак перед некоторыми членами противоположный. Рассмотрим, как ведет себя функция для разных интервалов.

Если $x<0$:

Для $x<0$:

• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=-1$.

Таким образом, для $x<0$:

$$f(x)=-1-(-1)-1-(-1)=-1+1-1+1=0.$$

Если $0\le x<1$:

Для $0\le x<1$:

• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=-1$.

Таким образом, для $0\le x<1$:

$$f(x)=1-(-1)+(-1)-(-1)=1+1-1+1=2.$$

Если $1\le x<2$:

Для $1\le x<2$:

• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=-1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=-1$.

Таким образом, для $1\le x<2$:

$$f(x)=1-1+(-1)-(-1)=1-1-1+1=0.$$

Если $2\le x<3$:

Для $2\le x<3$:

• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=-1$.

Таким образом, для $2\le x<3$:

$$f(x)=1-1+1-(-1)=1-1+1+1=2.$$

Если $x\ge 3$:

Для $x\ge 3$:

• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}{x-1}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{x-2}=1$,
• $\frac{\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}{x-3}=1$.

Таким образом, для $x\ge 3$:

$$f(x)=1-1+1-1=0.$$

Ответ:

$$E(f)=\{0;2\}$$