ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) $y = |x — 5|$

Выражение под знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$y = x — 5$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \end{array}$$

Если $x < 5$, тогда:

$$y = -(x — 5) = 5 — x$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \end{array}$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$
• Функция возрастает на $[5; +\infty)$
• Функция убывает на $(-\infty; 5]$
• Нули функции: $x = 5$

б) $y = |x + 3| + |1 — x|$

Выражения под знаком модуля:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$ $$1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$$

Если $x \geq 1$, тогда:

$$y = (x + 3) — (1 — x) = 2x + 2$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 6 \\ \end{array}$$

Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

$$y = (x + 3) + (1 — x) = 4$$

Если $x < -3$, тогда:

$$y = -(x + 3) + (1 — x) = -2x — 2$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & -4 & -3 \\ \hline y & 6 & 4 \\ \end{array}$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = [4; +\infty)$
• Функция возрастает на $[1; +\infty)$
• Функция убывает на $(-∞; -3]$
• Функция постоянна на $[-3; 1]$
• Нули функции отсутствуют

в) $y = 2 — |1 — x|$

Выражение под знаком модуля:

$$1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$$

Если $x \leq 1$, тогда:

$$y = 2 — (1 — x) = 1 + x$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 2 \\ \end{array}$$

Если $x > 1$, тогда:

$$y = 2 + (1 — x) = 3 — x$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 \\ \end{array}$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; 2]$
• Функция возрастает на $(-\infty; 2]$
• Функция убывает на $[2; +\infty)$
• Нули функции: $x_1 = -1, \, x_2 = 3$

г) $y = |x + 3| — |1 — x|$

Выражения под знаком модуля:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$ $$1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$$

Если $x \geq 1$, тогда:

$$y = (x + 3) + (1 — x) = 4$$

Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

$$y = (x + 3) — (1 — x) = 2x + 2$$ $$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 6 \\ \end{array}$$

Если $x < -3$, тогда:

$$y = -(x + 3) — (1 — x) = -4$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = [-4; 4]$
• Функция возрастает на $[-3; 1]$
• Функция не убывает
• Функция постоянна на $(-∞; -3] \cup [1; +∞)$
• Нули функции: $x = -1$

a) $y = |x — 5|$

1) Выражение под знаком модуля:

Для функции $y = |x — 5|$ выражение под знаком модуля — это $x — 5$. Нам нужно рассмотреть два случая:

1.1) Если $x \geq 5$:
Когда $x \geq 5$, выражение $x — 5$ не меняет знак, и модуль можно опустить, так как значение остается положительным или равным нулю. Тогда $|x — 5| = x — 5$.

1.2) Если $x < 5$:
Когда $x < 5$, выражение $x — 5$ отрицательно. Модуль переводит его в положительное значение, поэтому:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x$$

2) Если $x \geq 5$, тогда:

$$y = x — 5$$

• Это линейная функция с угловым коэффициентом 1. Значение $y$ при $x = 5$ будет равно 0.

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \end{array}$$

3) Если $x < 5$, тогда:

$$y = 5 — x$$

• Это тоже линейная функция, но с угловым коэффициентом -1. Значение $y$ при $x = 5$ снова равно 0.

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \end{array}$$

4) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех $x$.
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$, так как модуль всегда неотрицателен.
• Функция возрастает на $[5; +\infty)$: Это происходит потому, что $y = x — 5$ — линейная функция с положительным угловым коэффициентом.
• Функция убывает на $(-\infty; 5]$: Это происходит потому, что $y = 5 — x$ — линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом.
• Нули функции: $x = 5$, так как при $x = 5$ $y = 0$.

б) $y = |x + 3| + |1 — x|$

1) Выражения под знаком модуля:

Для функции $y = |x + 3| + |1 — x|$ рассматривали два выражения:

1.1) $x + 3 \geq 0$ ⇒$x \geq -3$:
Для значений $x \geq -3$ выражение $x + 3$ будет неотрицательным, и модуль можно опустить.

1.2) $1 — x \geq 0$ ⇒ $x \leq 1$:
Для значений $x \leq 1$ выражение $1 — x$ будет неотрицательным, и модуль тоже можно опустить.

2) Если $x \geq 1$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются следующим образом:

$$y = (x + 3) — (1 — x) = 2x + 2$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 6 \\ \end{array}$$

3) Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

В этом интервале выражение $|x + 3|$ будет равно $x + 3$, а $|1 — x|$ — равен $1 — x$. Таким образом, функция становится:

$$y = (x + 3) + (1 — x) = 4$$

Это постоянная функция, и $y = 4$ на всем интервале $-3 \leq x < 1$.

4) Если $x < -3$, тогда:

Для значений $x < -3$ оба выражения под модулями становятся отрицательными. Модули раскрываются как:

$$y = -(x + 3) + (1 — x) = -2x — 2$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & -4 & -3 \\ \hline y & 6 & 4 \\ \end{array}$$

5) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех значений $x$.
• Множество значений: $E(f) = [4; +\infty)$, так как минимальное значение функции равно 4, а функция растет для больших значений $x$.
• Функция возрастает на $[1; +\infty)$: Это линейная функция $y = 2x + 2$, которая возрастает.
• Функция убывает на $(-\infty; -3]$: Это линейная функция $y = -2x — 2$, которая убывает.
• Функция постоянна на $[-3; 1]$: Это постоянная функция $y = 4$.
• Нули функции отсутствуют. $y = 4$ для всех $x \in [-3, 1]$, и для других значений $x$ функция не достигает нуля.

в) $y = 2 — |1 — x|$

1) Выражение под знаком модуля:

Для функции $y = 2 — |1 — x|$ рассматривали следующее выражение под модулем:

1.1) $1 — x \geq 0$ ⇒ $x \leq 1$:
Для значений $x \leq 1$ выражение $1 — x$ будет неотрицательным, и модуль можно опустить.

2) Если $x \leq 1$, тогда:

В этом случае модуль раскрывается как $y = 2 — (1 — x) = 1 + x$.

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 2 \\ \end{array}$$

3) Если $x > 1$, тогда:

Когда $x > 1$, выражение $1 — x$ становится отрицательным, и модуль раскрывается как:

$$y = 2 + (1 — x) = 3 — x$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 2 & 1 \\ \end{array}$$

4) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех $x$.
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; 2]$, так как наибольшее значение функции равно 2, а функция убывает для $x > 1$.
• Функция возрастает на $(-\infty; 2]$: Это линейная функция $y = 1 + x$, которая возрастает.
• Функция убывает на $[2; +\infty)$: Это линейная функция $y = 3 — x$, которая убывает.
• Нули функции: $y = 0$ при $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

г) $y = |x + 3| — |1 — x|$

1) Выражения под знаком модуля:

Для функции $y = |x + 3| — |1 — x|$ рассматривали два выражения под модулем:

1.1) $x + 3 \geq 0$ ⇒ $x \geq -3$:
Для значений $x \geq -3$ выражение $x + 3$ будет неотрицательным, и модуль можно опустить.

1.2) $1 — x \geq 0$ ⇒ $x \leq 1$:
Для значений $x \leq 1$ выражение $1 — x$ будет неотрицательным, и модуль тоже можно опустить.

2) Если $x \geq 1$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются следующим образом:

$$y = (x + 3) + (1 — x) = 4$$

3) Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

В этом интервале выражение $|x + 3|$ будет равно $x + 3$, а $|1 — x|$ — равен $1 — x$. Таким образом, функция становится:

$$y = (x + 3) — (1 — x) = 2x + 2$$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 1 & 2 \\ \hline y & 4 & 6 \\ \end{array}$$

4) Если $x < -3$, тогда:

Для значений $x < -3$ оба выражения под модулями становятся отрицательными. Модули раскрываются как:

$$y = -(x + 3) — (1 — x) = -4$$

5) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех значений $x$.
• Множество значений: $E(f) = [-4; 4]$, так как минимальное значение функции равно -4, а максимальное — 4.
• Функция возрастает на $[-3; 1]$.
• Функция не убывает.
• Функция постоянна на $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.
• Нули функции: $x = -1$.