ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = |x — 5| \cdot (x + 3)$

Выражение под знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5;$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$y = (x — 5)(x + 3) = x^2 + 3x — 5x — 15 = x^2 — 2x — 15;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;$$

Если $x < 5$, тогда:

$$y = -(x — 5)(x + 3) = -x^2 — 3x + 5x + 15 = -x^2 + 2x + 15;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$;
• Функция возрастает на $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$;
• Функция убывает на $[1; 5]$;
• Нули функции: $x_1 = -3, \, 5$;

б) $y = |x + 3| \cdot |1 — x|$

Выражения под знаком модуля:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3;$$ $$1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1;$$

Если $x \geq 1$, тогда:

$$y = (x + 3)(x — 1) = x^2 — x + 3x — 3 = x^2 + 2x — 3;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1;$$

Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

$$y = (x + 3)(1 — x) = x — x^2 + 3 — 3x = -x^2 — 2x + 3;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{2} = -1;$$

Если $x < -3$, тогда:

$$y = -(x + 3)(1 — x) = -x + x^2 — 3 + 3x = x^2 + 2x — 3;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$;
• Функция возрастает на $[-3; -1] \cup [1; +\infty)$;
• Функция убывает на $(-\infty; -3] \cup [-1; 1]$;
• Нули функции: $x = -3, \, 1$

а) $y = |x — 5| \cdot (x + 3)$

В данном случае функция состоит из произведения модуля $|x — 5|$ и линейного выражения $(x + 3)$. Для того чтобы найти поведение функции, нужно рассматривать два случая, так как функция содержит абсолютное значение. Давайте разберем все шаги.

1) Выражение под знаком модуля:

Модуль $|x — 5|$ раскрывается по-разному в зависимости от того, больше ли $x$ или меньше 5. Рассмотрим два случая:

• Если $x \geq 5$: в этом случае выражение $x — 5 \geq 0$, и $|x — 5| = x — 5$.
• Если $x < 5$: тогда $x — 5 < 0$, и $|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x$.

2) Если $x \geq 5$, тогда:

Когда $x \geq 5$, модуль раскрывается как $|x — 5| = x — 5$, и функция $y$ будет:

$$y = (x — 5)(x + 3)$$

Теперь раскрываем скобки:

$$y = x^2 + 3x — 5x — 15 = x^2 — 2x — 15$$

Это квадратная функция, для которой можно найти вершину с помощью формулы для абсциссы вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = -2$:

$$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Однако для случая $x \geq 5$ вершина не имеет значения, так как функция для таких значений монотонно возрастает. Находим несколько значений функции, подставив конкретные значения для $x$:

Таблица значений:

3) Если $x < 5$, тогда:

Если $x < 5$, модуль раскрывается как $|x — 5| = 5 — x$, и функция $y$ будет:

$$y = -(x — 5)(x + 3)$$

Теперь раскрываем скобки:

$$y = -x^2 — 3x + 5x + 15 = -x^2 + 2x + 15$$

Это также квадратная функция. Чтобы найти вершину, используем ту же формулу для $x_0$, где $a = -1$ и $b = 2$:

$$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1$$

Вершина находится на $x = 1$, но мы рассматриваем интервал $x < 5$, следовательно, функция убывает до точки 1 и начинает возрастать после нее. Теперь подставим несколько значений $x$ в уравнение, чтобы построить таблицу значений:

Таблица значений:

4) График функции:

Теперь, зная, как ведет себя функция для $x \geq 5$ и $x < 5$, можно построить график. График будет состоять из двух частей:

• Для $x \geq 5$ функция возрастает.
• Для $x < 5$ функция сначала убывает, а затем возрастает.
• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ (функция определена для всех $x$).
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$ (функция может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные).
• Функция возрастает на $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$ (на этих интервалах функция возрастает, так как она является параболой с положительным угловым коэффициентом).
• Функция убывает на $[1; 5]$ (на этом интервале функция убывает, так как парабола направлена вниз).
• Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 5$.

б) $y = |x + 3| \cdot |1 — x|$

Для функции $y = |x + 3| \cdot |1 — x|$ также рассмотрим два выражения под модулем:

• $|x + 3|$ зависит от $x$, и раскрывается по-разному:
  • Если $x \geq -3$, то $|x + 3| = x + 3$.
  • Если $x < -3$, то $|x + 3| = -(x + 3) = -x — 3$.
• $|1 — x|$ также зависит от $x$, и раскрывается по-разному:
  • Если $x \leq 1$, то $|1 — x| = 1 — x$.
  • Если $x > 1$, то $|1 — x| = x — 1$.

1) Выражения под знаком модуля:

• $x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$;
• $1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$;

2) Если $x \geq 1$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются следующим образом:

$$y = (x + 3)(x — 1) = x^2 — x + 3x — 3 = x^2 + 2x — 3$$

Вершина параболы находится по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

Таблица значений:

3) Если $-3 \leq x < 1$, тогда:

Здесь выражение для функции будет:

$$y = (x + 3)(1 — x) = x — x^2 + 3 — 3x = -x^2 — 2x + 3$$

Вершина параболы для этой части:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{2} = -1$$

Таблица значений:

4) Если $x < -3$, тогда:

Здесь выражение для функции будет:

$$y = -(x + 3)(1 — x) = -x + x^2 — 3 + 3x = x^2 + 2x — 3$$

Таблица значений:

5) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
• Функция возрастает на $[-3; -1] \cup [1; +\infty)$.
• Функция убывает на $(-\infty; -3] \cup [-1; 1]$.
• Нули функции: $x = -3$, $x = 1$.