ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = |2 — \sqrt{5 — x}|;$

Выражение под знаком модуля:

$$2 — \sqrt{5 — x} \geq 0;$$ $$\sqrt{5 — x} \leq 2;$$ $$5 — x \leq 4;$$ $$x \geq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;$$

Если $1 \leq x \leq 5$, тогда:

$$y = 2 — \sqrt{5 — x};$$ $$x_0 = 5;$$

Если $x < 1$, тогда:

$$y = \sqrt{5 — x} — 2;$$ $$x_0 = 5;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; 5]$;
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$;
• Функция возрастает на $[1; 5]$;
• Функция убывает на $(-\infty; 1]$;
• Нули функции: $x = 1$;

б) $y = 2 — \sqrt{5 — |x|};$

Выражение имеет смысл при:

$$5 — |x| \geq 0;$$ $$|x| \leq 5;$$ $$-5 \leq x \leq 5;$$

Если $0 \leq x \leq 5$, тогда:

$$y = 2 — \sqrt{5 — x};$$ $$x_0 = 5;$$

Если $-5 \leq x < 0$, тогда:

$$y = 2 — \sqrt{5 + x};$$ $$x_0 = -5;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = [-5; 5]$;
• Множество значений: $E(f) = [2 — \sqrt{5}; 2]$;
• Функция возрастает на $[0; 5]$;
• Функция убывает на $[-5; 0]$;
• Нули функции: $x = \pm 1$;

в) $y = |2 — \sqrt{5 + x}|;$

Выражение под знаком модуля:

$$2 — \sqrt{5 + x} \geq 0;$$ $$\sqrt{5 + x} \leq 2;$$ $$5 + x \leq 4;$$ $$x \leq -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5;$$

Если $-5 \leq x \leq -1$, тогда:

$$y = 2 — \sqrt{5 + x};$$ $$x_0 = -5;$$

Если $x > -1$, тогда:

$$y = \sqrt{5 + x} — 2;$$ $$x_0 = -5;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = [-5; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$;
• Функция возрастает на $[-1; +\infty)$;
• Функция убывает на $[-5; -1]$;
• Нули функции: $x = -1$;

г) $y = \left| 2 — \sqrt{5 + |x|} \right|;$

Выражение под знаком модуля:

$$2 — \sqrt{5 + |x|} \geq 0;$$ $$\sqrt{5 + |x|} \leq 2;$$ $$5 + |x| \leq 4;$$ $$|x| \leq -1;$$ $$x \in \emptyset;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 + |x| \geq 0;$$ $$|x| \geq -5;$$ $$x \in \mathbb{R};$$

Если $x \geq 0$, тогда:

$$y = -(2 — \sqrt{5 + x}) = \sqrt{5 + x} — 2;$$ $$x_0 = -5;$$

Если $x < 0$, тогда:

$$y = -(2 — \sqrt{5 — x}) = \sqrt{5 — x} — 2;$$ $$x_0 = 5;$$

График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = [\sqrt{5} — 2; +\infty)$;
• Функция возрастает на $[0; +\infty)$;
• Функция убывает на $(-\infty; 0]$;
• Нули функции отсутствуют

а) $y = |2 — \sqrt{5 — x}|$

Задача состоит в том, чтобы рассмотреть, при каких значениях $x$ выражение внутри модуля и сама функция будут определены, а также изучить поведение функции в различных интервалах.

1) Выражение под знаком модуля:

Модуль $|2 — \sqrt{5 — x}|$ требует, чтобы выражение под корнем $\sqrt{5 — x}$ было неотрицательным, то есть:

$$5 — x \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$x \leq 5$$

Также, для того чтобы выражение $2 — \sqrt{5 — x}$ было неотрицательным, должно выполняться:

$$2 — \sqrt{5 — x} \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$\sqrt{5 — x} \leq 2$$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$5 — x \leq 4$$

Решаем это неравенство:

$$x \geq 1$$

Таким образом, для функции существует ограничение:

$$1 \leq x \leq 5$$

2) Выражение имеет смысл при:

Условие, что $5 — x \geq 0$, означает, что $x \leq 5$. Следовательно, $x$ должно лежать в интервале:

$$x \leq 5$$

Таким образом, область определения функции: $D(x) = [1; 5]$.

3) Если $1 \leq x \leq 5$, тогда:

Для значений $x$ из интервала $[1; 5]$ функция будет:

$$y = 2 — \sqrt{5 — x}$$

Рассмотрим поведение функции в пределах этого интервала. Мы подставим несколько значений $x$ в уравнение, чтобы изучить результат:

• При $x = 1$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 1} = 2 — \sqrt{4} = 2 — 2 = 0$$

• При $x = 4$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 4} = 2 — \sqrt{1} = 2 — 1 = 1$$

• При $x = 5$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 5} = 2 — \sqrt{0} = 2$$

Таким образом, значения функции на интервале $1 \leq x \leq 5$ составляют: $y \in [0; 2]$.

Таблица значений функции:

4) Если $x < 1$, тогда:

Если $x < 1$, то выражение под знаком модуля изменится на:

$$y = \sqrt{5 — x} — 2$$

Теперь рассчитаем несколько значений:

• При $x = -11$:

$$y = \sqrt{5 — (-11)} — 2 = \sqrt{5 + 11} — 2 = \sqrt{16} — 2 = 4 — 2 = 2$$

• При $x = -4$:

$$y = \sqrt{5 — (-4)} — 2 = \sqrt{5 + 4} — 2 = \sqrt{9} — 2 = 3 — 2 = 1$$

• При $x = 1$:

$$y = \sqrt{5 — 1} — 2 = \sqrt{4} — 2 = 2 — 2 = 0$$

Таким образом, значения функции на интервале $x < 1$ составляют $y \in [0; +\infty)$.

Таблица значений функции:

5) График функции:

Для построения графика функции следует отметить, что:

• Область определения: $D(x) = [1; 5]$
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$
• Функция возрастает на $[1; 5]$
• Функция убывает на $(-\infty; 1]$
• Нули функции: $x = 1$

б) $y = 2 — \sqrt{5 — |x|}$

Задача с абсолютным значением потребует разделения на три случая в зависимости от того, какой знак имеет $x$.

1) Выражение имеет смысл при:

Чтобы корень был определен, нам нужно, чтобы $5 — |x| \geq 0$. Решаем это:

$$|x| \leq 5$$

Следовательно, область определения функции:

$$-5 \leq x \leq 5$$

2) Если $0 \leq x \leq 5$, тогда:

На интервале $0 \leq x \leq 5$, выражение для функции будет:

$$y = 2 — \sqrt{5 — x}$$

Посмотрим на поведение функции:

• При $x = 0$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 0} = 2 — \sqrt{5} \approx 2 — 2.236 = -0.236$$

• При $x = 1$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 1} = 2 — \sqrt{4} = 2 — 2 = 0$$

• При $x = 5$:

$$y = 2 — \sqrt{5 — 5} = 2 — \sqrt{0} = 2$$

Таблица значений функции:

3) Если $-5 \leq x < 0$, тогда:

Для значений $x$ из интервала $-5 \leq x < 0$ выражение для функции будет:

$$y = 2 — \sqrt{5 + x}$$

Посмотрим, как ведет себя функция:

• При $x = -5$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-5)} = 2 — \sqrt{0} = 2$$

• При $x = -4$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-4)} = 2 — \sqrt{1} = 2 — 1 = 1$$

• При $x = -1$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-1)} = 2 — \sqrt{4} = 2 — 2 = 0$$

Таблица значений функции:

4) График функции:

• Область определения: $D(x) = [-5; 5]$
• Множество значений: $E(f) = [2 — \sqrt{5}; 2]$
• Функция возрастает на $[0; 5]$
• Функция убывает на $[-5; 0]$
• Нули функции: $x = \pm 1$

в) $y = |2 — \sqrt{5 + x}|$

Для этой функции важно рассматривать условие, при котором выражение под корнем и выражение внутри модуля будут определены.

1) Выражение под знаком модуля:

Для выражения $2 — \sqrt{5 + x} \geq 0$ нам нужно, чтобы:

$$\sqrt{5 + x} \leq 2$$

Возводим обе части в квадрат:

$$5 + x \leq 4$$

Решаем это:

$$x \leq -1$$

2) Выражение имеет смысл при:

Для выражения $\sqrt{5 + x}$ необходимо, чтобы:

$$5 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5$$

Таким образом, область определения функции:

$$-5 \leq x \leq -1$$

3) Если $-5 \leq x \leq -1$, тогда:

На интервале $-5 \leq x \leq -1$, функция будет:

$$y = 2 — \sqrt{5 + x}$$

Посмотрим на поведение функции:

• При $x = -5$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-5)} = 2 — \sqrt{0} = 2$$

• При $x = -4$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-4)} = 2 — \sqrt{1} = 2 — 1 = 1$$

• При $x = -1$:

$$y = 2 — \sqrt{5 + (-1)} = 2 — \sqrt{4} = 2 — 2 = 0$$

Таблица значений функции:

4) Если $x > -1$, тогда:

Когда $x > -1$, выражение под знаком модуля изменится на:

$$y = \sqrt{5 + x} — 2$$

Посмотрим на поведение функции:

• При $x = -1$:

$$y = \sqrt{5 + (-1)} — 2 = \sqrt{4} — 2 = 2 — 2 = 0$$

• При $x = 4$:

$$y = \sqrt{5 + 4} — 2 = \sqrt{9} — 2 = 3 — 2 = 1$$

• При $x = 11$:

$$y = \sqrt{5 + 11} — 2 = \sqrt{16} — 2 = 4 — 2 = 2$$

Таблица значений функции:

5) График функции:

• Область определения: $D(x) = [-5; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$
• Функция возрастает на $[-1; +\infty)$
• Функция убывает на $[-5; -1]$
• Нули функции: $x = -1$

г) $y = \left| 2 — \sqrt{5 + |x|} \right|$

Эта функция требует рассматривать абсолютное значение $|x|$, а также уточнять области определения и поведения функции.

1) Выражение под знаком модуля:

Для выражения $2 — \sqrt{5 + |x|} \geq 0$:

$$\sqrt{5 + |x|} \leq 2$$

Возводим обе части в квадрат:

$$5 + |x| \leq 4$$

Решаем:

$$|x| \leq -1$$

Но поскольку $|x| \geq 0$, данное неравенство не имеет решений. Таким образом, функция не определена для таких $x$.

2) Выражение имеет смысл при:

Выражение $\sqrt{5 + |x|}$ имеет смысл при:

$$5 + |x| \geq 0$$

Это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть область определения функции — все действительные числа.

3) Если $x \geq 0$, тогда:

Для $x \geq 0$:

$$y = \sqrt{5 + x} — 2$$

Таблица значений:

4) Если $x < 0$, тогда:

Для $x < 0$:

$$y = \sqrt{5 — x} — 2$$

Таблица значений:

5) График функции:

• Область определения: $D(x) = (-\infty; +\infty)$
• Множество значений: $E(f) = [\sqrt{5} — 2; +\infty)$
• Функция возрастает на $[0; +\infty)$
• Функция убывает на $(-\infty; 0]$
• Нули функции отсутствуют