ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее значение функции:

а) $y = 2 + |x + 5|$;

Функции задают прямую;

Выражение под знаком модуля:

$$x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5;$$

Если $x \geq -5$, тогда:

$$y = 2 + (x + 5) = 7 + x;$$ $$y_{\text{min}} = y(-5) = 7 — 5 = 2;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Если $x \leq -5$, тогда:

$$y = 2 — (x + 5) = -3 — x;$$ $$y_{\text{min}} = y(-5) = -3 + 5 = 2;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Ответ: $2$.

б) $y = |x — 2| + |x + 5|$;

Функции задают прямую;

Выражения под знаком модуля:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2;$$ $$x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5;$$

Если $x \geq 2$, тогда:

$$y = (x — 2) + (x + 5) = 2x + 3;$$ $$y_{\text{min}} = y(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Если $-5 \leq x \leq 2$, тогда:

$$y = -(x — 2) + (x + 5) = 7;$$

Если $x \leq -5$, тогда:

$$y = -(x — 2) — (x + 5) = -2x — 3;$$ $$y_{\text{min}} = y(-5) = -2 \cdot (-5) — 3 = 10 — 3 = 7;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Ответ: $7$.

в) $y = |x — 2| — |x + 5|$;

Функции задают прямую;

Выражения под знаком модуля:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2;$$ $$x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5;$$

Если $x \geq 2$, тогда:

$$y = (x — 2) — (x + 5) = -7;$$

Если $-5 \leq x \leq 2$, тогда:

$$y = -(x — 2) — (x + 5) = -2x — 3;$$ $$y_{\text{min}} = y(2) = -2 \cdot 2 — 3 = -4 — 3 = -7;$$ $$y_{\text{max}} = y(-5) = -2 \cdot (-5) — 3 = 10 — 3 = 7;$$

Если $x \leq -5$, тогда:

$$y = -(x — 2) + (x + 5) = 7;$$

Ответ: $-7$.

г) $y = |x — 2| \cdot |x + 5|$;

Функции задают параболу:

Выражения под знаком модуля:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2;$$ $$x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5;$$

Если $x \geq 2$, тогда:

$$y = (x — 2)(x + 5) = x^2 + 5x — 2x — 10 = x^2 + 3x — 10;$$ $$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1,5;$$ $$a = 1 > 0 \text{ — ветви направлены вверх};$$ $$y_{\text{min}} = y(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 — 10 = 4 + 6 — 10 = 0;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Если $-5 \leq x \leq 2$, тогда:

$$y = -(x — 2)(x + 5) = -x^2 — 5x + 2x + 10 = -x^2 — 3x + 10;$$ $$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{-2} = -1,5;$$ $$y(-5) = -(-5)^2 — 3 \cdot (-5) + 10 = -25 + 15 + 10 = 0;$$ $$y(-1,5) = -(-1,5)^2 — 3 \cdot (-1,5) + 10 = -2,25 + 4,5 + 10 = 12,75;$$ $$y(2) = -2^2 — 3 \cdot 2 + 10 = -4 — 6 + 10 = 0;$$

Если $x \leq -5$, тогда:

$$y = (2 — x)(-x — 5) = -2x — 10 + x^2 + 5x = x^2 + 3x — 10;$$ $$y_{\text{min}} = 0;$$ $$y_{\text{max}} \text{ — нет};$$

Ответ: $0$.

Найти наименьшее значение функции для каждого случая.

а) $y = 2 + |x + 5|$

Функция состоит из прямой и модуля, что делает ее частью кусочной функции, которую необходимо анализировать для разных значений $x$.

1) Выражение под знаком модуля:

Модуль $|x + 5|$ раскрывается по-разному в зависимости от того, больше ли $x + 5$ или меньше нуля. Рассмотрим два случая:

• Если $x \geq -5$, то $x + 5 \geq 0$, и $|x + 5| = x + 5$.
• Если $x < -5$, то $x + 5 < 0$, и $|x + 5| = -(x + 5) = -x — 5$.

2) Если $x \geq -5$, тогда:

В этом случае модуль раскрывается как $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = 2 + (x + 5) = 7 + x$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом 1, которая возрастает. Поскольку линейная функция возрастает, наименьшее значение функции будет достигаться при минимальном значении $x$, которое в этом интервале равно $x = -5$. Подставим $x = -5$:

$$y_{\text{min}} = 7 + (-5) = 2$$

Следовательно, наименьшее значение функции на интервале $x \geq -5$ равно 2.

3) Если $x < -5$, тогда:

Для значений $x < -5$ модуль раскрывается как $|x + 5| = -x — 5$, и функция примет вид:

$$y = 2 + (-x — 5) = -x — 3$$

Это также линейная функция, но с угловым коэффициентом -1. Она убывает, и наименьшее значение будет при максимальном значении $x$, которое в этом интервале равно $x = -5$. Подставим $x = -5$:

$$y_{\text{min}} = -(-5) — 3 = 5 — 3 = 2$$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $x < -5$ также равно 2.

4) Ответ:

Наименьшее значение функции $y = 2 + |x + 5|$ на всей области определения равно 2.

б) $y = |x — 2| + |x + 5|$

Здесь также есть два модуля, что предполагает разбиение на несколько случаев в зависимости от значений $x$.

1) Выражения под знаком модуля:

Для функции $y = |x — 2| + |x + 5|$ нужно рассматривать два выражения под знаком модуля:

• $|x — 2|$ раскрывается:
  • Если $x \geq 2$, то $|x — 2| = x — 2$.
  • Если $x < 2$, то $|x — 2| = -(x — 2) = 2 — x$.
• $|x + 5|$ раскрывается:
  • Если $x \geq -5$, то $|x + 5| = x + 5$.
  • Если $x < -5$, то $|x + 5| = -(x + 5) = -x — 5$.

2) Если $x \geq 2$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются как $|x — 2| = x — 2$ и $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = (x — 2) + (x + 5) = 2x + 3$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом 2, которая возрастает. Поскольку линейная функция возрастает, наименьшее значение будет при минимальном значении $x$, которое равно 2. Подставим $x = 2$:

$$y_{\text{min}} = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$$

Следовательно, наименьшее значение функции на интервале $x \geq 2$ равно 7.

3) Если $-5 \leq x < 2$, тогда:

Для значений $x$ из интервала $-5 \leq x < 2$, модуль $|x — 2| = 2 — x$, а $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = (2 — x) + (x + 5) = 7$$

Это постоянная функция, и ее значение на всем интервале равно 7.

4) Если $x < -5$, тогда:

Для значений $x < -5$, модуль $|x — 2| = 2 — x$, а $|x + 5| = -x — 5$, и функция примет вид:

$$y = (2 — x) + (-x — 5) = -2x — 3$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом -2, которая убывает. Поскольку линейная функция убывает, наименьшее значение будет при максимальном значении $x$, которое в этом интервале равно $x = -5$. Подставим $x = -5$:

$$y_{\text{min}} = -2 \cdot (-5) — 3 = 10 — 3 = 7$$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $x < -5$ также равно 7.

5) Ответ:

Наименьшее значение функции $y = |x — 2| + |x + 5|$ на всей области определения равно 7.

в) $y = |x — 2| — |x + 5|$

Здесь функция снова состоит из двух модуля, но знак между ними другой, что повлияет на поведение функции.

1) Выражения под знаком модуля:

Рассмотрим два выражения под знаком модуля:

• $|x — 2|$ раскрывается:
  • Если $x \geq 2$, то $|x — 2| = x — 2$.
  • Если $x < 2$, то $|x — 2| = 2 — x$.
• $|x + 5|$ раскрывается:
  • Если $x \geq -5$, то $|x + 5| = x + 5$.
  • Если $x < -5$, то $|x + 5| = -(x + 5) = -x — 5$.

2) Если $x \geq 2$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются как $|x — 2| = x — 2$ и $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = (x — 2) — (x + 5) = -7$$

Здесь значение функции всегда равно -7 для $x \geq 2$.

3) Если $-5 \leq x < 2$, тогда:

Для значений $x$ из интервала $-5 \leq x < 2$, модуль $|x — 2| = 2 — x$, а $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = (2 — x) — (x + 5) = -2x — 3$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом -2, которая убывает. Для нахождения наименьшего значения подставим $x = 2$:

$$y_{\text{min}} = -2 \cdot 2 — 3 = -4 — 3 = -7$$

Также вычислим максимальное значение, подставив $x = -5$:

$$y_{\text{max}} = -2 \cdot (-5) — 3 = 10 — 3 = 7$$

4) Если $x < -5$, тогда:

Для значений $x < -5$, модуль $|x — 2| = 2 — x$, а $|x + 5| = -x — 5$, и функция примет вид:

$$y = (2 — x) — (-x — 5) = 7$$

Здесь значение функции всегда равно 7.

5) Ответ:

Наименьшее значение функции $y = |x — 2| — |x + 5|$ равно $-7$.

г) $y = |x — 2| \cdot |x + 5|$

Здесь мы имеем произведение двух модулей, что задает параболу.

1) Выражения под знаком модуля:

Рассмотрим два выражения под знаком модуля:

• $|x — 2|$ раскрывается:
  • Если $x \geq 2$, то $|x — 2| = x — 2$.
  • Если $x < 2$, то $|x — 2| = 2 — x$.
• $|x + 5|$ раскрывается:
  • Если $x \geq -5$, то $|x + 5| = x + 5$.
  • Если $x < -5$, то $|x + 5| = -(x + 5) = -x — 5$.

2) Если $x \geq 2$, тогда:

В этом случае оба модуля раскрываются как $|x — 2| = x — 2$ и $|x + 5| = x + 5$, и функция примет вид:

$$y = (x — 2)(x + 5) = x^2 + 5x — 2x — 10 = x^2 + 3x — 10$$

Для нахождения наименьшего значения функции, найдем вершину параболы. Для этого используем формулу для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = 3$:

$$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

Поскольку парабола открывается вверх (так как $a = 1 > 0$), наименьшее значение функции будет достигаться при $x = 2$, так как 2 — это минимальное значение из рассматриваемых в этой части. Подставим $x = 2$:

$$y_{\text{min}} = 2^2 + 3 \cdot 2 — 10 = 4 + 6 — 10 = 0$$

3) Если $-5 \leq x \leq 2$, тогда:

Для значений $x$ из интервала $-5 \leq x \leq 2$, функция примет вид:

$$y = -(x — 2)(x + 5) = -x^2 — 5x + 2x + 10 = -x^2 — 3x + 10$$

Вершина параболы для этой функции находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$$x_0 = \frac{-(-3)}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{-2} = -1.5$$

Теперь вычислим значения функции в ключевых точках:

• При $x = -5$:

$$y = -(-5)^2 — 3 \cdot (-5) + 10 = -25 + 15 + 10 = 0$$

• При $x = -1.5$:

$$y = -(-1.5)^2 — 3 \cdot (-1.5) + 10 = -2.25 + 4.5 + 10 = 12.75$$

• При $x = 2$:

$$y = -2^2 — 3 \cdot 2 + 10 = -4 — 6 + 10 = 0$$

4) Если $x \leq -5$, тогда:

Для значений $x \leq -5$, функция примет вид:

$$y = (2 — x)(-x — 5) = -2x — 10 + x^2 + 5x = x^2 + 3x — 10$$

Здесь наименьшее значение будет равно 0, так как для $x = -5$, $y = 0$.

5) Ответ:

Наименьшее значение функции $y = |x — 2| \cdot |x + 5|$ равно $0$.