ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.63 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Пусть $a \in [- 4; 0]$ , найти отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида:

а) $x = 1 + 2 a^{2}$ ;

б) $x = 5 a + a^{2}$ ;

в) $x = 5 a^{3}$ ;

г) $x = \frac{2 a + 1}{3 a - 1}$

Краткий ответ

Пусть $a \in [- 4; 0]$ , найти отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида:

а) $x = 1 + 2 a^{2}$ ;

Абсцисса вершины параболы:

$a_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{0}{2 \cdot 2} = 0;$

Значения функции:

$x (- 4) = 1 + 2 \cdot (- 4)^{2} = 1 + 2 \cdot 16 = 1 + 32 = 33;$ $x (0) = 1 + 2 \cdot 0^{2} = 1 + 0 = 1;$

Ответ: $[1; 33]$ .

б) $x = 5 a + a^{2}$ ;

Абсцисса вершины параболы:

$a_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{5}{2 \cdot 1} = - 2, 5;$

Значения функции:

$x (- 4) = 5 \cdot (- 4) + (- 4)^{2} = - 20 + 16 = - 4;$ $x (- 2, 5) = 5 \cdot (- 2, 5) + (- 2, 5)^{2} = - 12, 5 + 6, 25 = - 6, 25;$ $x (0) = 5 \cdot 0 + 0^{2} = 0;$

Ответ: $[- 6, 25; 0]$ .

в) $x = 5 a^{3}$ ;

Значения функции:

$x (- 4) = 5 \cdot (- 4)^{3} = 5 \cdot (- 64) = - 320;$ $x (0) = 5 \cdot 0^{3} = 0;$

Ответ: $[- 320; 0]$ .

г) $x = \frac{2 a + 1}{3 a - 1}$ ;

Вертикальная асимптота гиперболы:

$3 a - 1 = 0;$ $3 a = 1;$ $a = \frac{1}{3};$

Значения функции:

$x (- 4) = \frac{2 \cdot (- 4) + 1}{3 \cdot (- 4) - 1} = \frac{- 8 + 1}{- 12 - 1} = \frac{- 7}{- 13} = \frac{7}{13};$ $x (0) = \frac{2 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1;$

Ответ: $[- 1; \frac{7}{13}]$ .

Подробный ответ

а) $x = 1 + 2 a^{2}$

Задано, что $a \in [- 4; 0]$ , и нам нужно найти отрезок наименьшей длины, который содержит все значения функции $x = 1 + 2 a^{2}$ при $a \in [- 4; 0]$ .

Шаг 1. Анализ функции

Это квадратичная функция относительно $a$ . Вид функции:

$x (a) = 1 + 2 a^{2}$

Функция имеет форму параболы, открывающейся вверх, так как коэффициент при $a^{2}$ положительный.

Шаг 2. Найдем значения функции в крайних точках отрезка $a \in [- 4; 0]$ :

Для $a = - 4$ :

$x (- 4) = 1 + 2 \cdot (- 4)^{2} = 1 + 2 \cdot 16 = 1 + 32 = 33$

Для $a = 0$ :

$x (0) = 1 + 2 \cdot 0^{2} = 1 + 0 = 1$

Шаг 3. Определение наименьшего отрезка

Так как функция возрастает (парабола открывается вверх), минимальное значение будет достигаться в точке $a = 0$ , а максимальное — в точке $a = - 4$ .

Ответ: отрезок, содержащий все значения функции, имеет вид:

$[1; 33]$

б) $x = 5 a + a^{2}$

Теперь рассмотрим функцию $x = 5 a + a^{2}$ при $a \in [- 4; 0]$ .

Шаг 1. Анализ функции

Это также парабола, но с другим коэффициентом при $a^{2}$ . Вид функции:

$x (a) = 5 a + a^{2}$

Функция имеет форму параболы, которая открывается вверх, так как коэффициент при $a^{2}$ положительный.

Шаг 2. Находим абсциссу вершины параболы

Для функции $x (a) = 5 a + a^{2}$ абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

$a_{0} = - \frac{b}{2 a}$

где $b = 5$ , а $a = 1$ (коэффициенты при $a$ и $a^{2}$ соответственно). Подставляем:

$a_{0} = - \frac{5}{2 \cdot 1} = - 2, 5$

Таким образом, вершина параболы находится при $a = - 2, 5$ .

Шаг 3. Находим значения функции в крайних точках и в вершине:

Для $a = - 4$ :

$x (- 4) = 5 \cdot (- 4) + (- 4)^{2} = - 20 + 16 = - 4$

Для $a = - 2, 5$ (вершина параболы):

$x (- 2, 5) = 5 \cdot (- 2, 5) + (- 2, 5)^{2} = - 12, 5 + 6, 25 = - 6, 25$

Для $a = 0$ :

$x (0) = 5 \cdot 0 + 0^{2} = 0$

Шаг 4. Определение наименьшего отрезка

Функция минимальна в точке $a = - 2, 5$ , а максимальна в точке $a = - 4$ .

Ответ: отрезок, содержащий все значения функции, имеет вид:

$[- 6, 25; 0]$

в) $x = 5 a^{3}$

Теперь рассмотрим функцию $x = 5 a^{3}$ при $a \in [- 4; 0]$ .

Шаг 1. Анализ функции

Функция $x (a) = 5 a^{3}$ является кубической, и для кубической функции на отрезке с отрицательными значениями $a$ (от $- 4$ до $0$ ) она будет убывать, так как куб отрицательного числа также будет отрицательным.

Шаг 2. Находим значения функции в крайних точках:

Для $a = - 4$ :

$x (- 4) = 5 \cdot (- 4)^{3} = 5 \cdot (- 64) = - 320$

Для $a = 0$ :

$x (0) = 5 \cdot 0^{3} = 0$

Шаг 3. Определение наименьшего отрезка

Так как функция убывает на отрезке $[- 4; 0]$ , минимальное значение будет достигаться в точке $a = - 4$ , а максимальное — в точке $a = 0$ .

Ответ: отрезок, содержащий все значения функции, имеет вид:

$[- 320; 0]$

г) $x = \frac{2 a + 1}{3 a - 1}$

Рассмотрим функцию $x = \frac{2 a + 1}{3 a - 1}$ при $a \in [- 4; 0]$ .

Шаг 1. Анализ функции

Это гипербола, и она может иметь вертикальную асимптоту, если знаменатель обнуляется. Для этой функции вертикальная асимптота появляется, когда $3 a - 1 = 0$ , то есть при:

$3 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$

Значение $a = \frac{1}{3}$ лежит в пределах отрезка $[- 4; 0]$ , поэтому функция будет иметь асимптоту внутри отрезка.

Шаг 2. Находим значения функции в крайних точках и точке асимптоты:

Для $a = - 4$ :

$x (- 4) = \frac{2 \cdot (- 4) + 1}{3 \cdot (- 4) - 1} = \frac{- 8 + 1}{- 12 - 1} = \frac{- 7}{- 13} = \frac{7}{13}$

Для $a = 0$ :

$x (0) = \frac{2 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Шаг 3. Определение наименьшего отрезка

Функция имеет вертикальную асимптоту в точке $a = \frac{1}{3}$ , но поскольку эта точка не входит в наш интервал, нам нужно учитывать только значения функции в крайних точках отрезка. Поэтому минимальное значение функции $x = - 1$ , а максимальное значение $x = \frac{7}{13}$ .