ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.71 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $\omega \in [0; 1)$, доказать, что для любого натурального числа $a$ верно:

а) $\{a + \omega\} = \omega$

По определению целой части числа:

$$[a] = a \in \mathbb{Z};$$ $$a \leq a < a + 1;$$ $$a + \omega \leq a + \omega < (a + 1) + \omega;$$

Но так как $0 \leq \omega < 1$, то верно:

$$a \leq a + \omega < a + 1;$$

Следовательно, целая часть:

$$[a + \omega] = a;$$

По определению дробной части числа:

$$\{a + \omega\} = (a + \omega) — [a + \omega] = a + \omega — a = \omega;$$

Что и требовалось доказать.

б) $\{a — \omega\} = 1 — \omega$

По определению целой части числа:

$$[a] = a \in \mathbb{Z};$$ $$a \leq a < a + 1;$$ $$a — \omega \leq a — \omega < (a + 1) — \omega;$$

Но так как $0 \leq \omega < 1$, то верно:

$$a — 1 \leq a — \omega < a;$$

Следовательно, целая часть:

$$[a — \omega] = a — 1;$$

По определению дробной части числа:

$$\{a — \omega\} = (a — \omega) — [a — \omega];$$ $$\{a — \omega\} = (a — \omega) — (a — 1) = 1 — \omega;$$

Что и требовалось доказать.

Задано: $\omega \in [0; 1)$, $a \in \mathbb{N}$ (натуральные числа)

а) $\{a + \omega\} = \omega$

Шаг 1. Понимание дробной части

Дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, определяется как:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — это целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Шаг 2. Определение целой части для $a + \omega$

Пусть $a \in \mathbb{N}$, а $\omega \in [0, 1)$. Тогда $a$ — целое число, и $\omega$ — дробная часть, лежащая в пределах от 0 до 1, но не включая 1. Рассмотрим выражение $a + \omega$. Так как $\omega$ — это дробная часть, она всегда меньше 1, и, следовательно:

$$a \leq a + \omega < a + 1.$$

Теперь, по определению целой части:

$$[a + \omega] = a,$$

поскольку $a$ является целым числом, а $\omega$ — дробной частью, которая не меняет целую часть числа.

Шаг 3. Вычисление дробной части $\{a + \omega\}$

Теперь вычислим дробную часть $\{a + \omega\}$, используя определение:

$$\{a + \omega\} = (a + \omega) — [a + \omega].$$

Так как $[a + \omega] = a$, получаем:

$$\{a + \omega\} = (a + \omega) — a = \omega.$$

Ответ:

$$\{a+\omega \}=\omega \mathrm{.}$$

$$\{a + \omega\} = \omega.$$

Что и требовалось доказать.

б) $\{a — \omega\} = 1 — \omega$

Шаг 1. Понимание дробной части для выражения $a — \omega$

В данном случае, мы рассматриваем выражение $a — \omega$, где $a \in \mathbb{N}$, а $\omega \in [0, 1)$. Поскольку $\omega$ лежит в интервале $[0, 1)$, это означает, что $a — \omega$ будет больше $a — 1$, но меньше $a$, то есть:

$$a — 1 \leq a — \omega < a.$$

Шаг 2. Определение целой части для $a — \omega$

Так как $a — \omega$ лежит в интервале от $a — 1$ до $a$, целая часть числа $a — \omega$ будет равна $a — 1$, потому что $a — \omega$ всегда больше или равно $a — 1$, но меньше $a$.

Таким образом:

$$[a — \omega] = a — 1.$$

Шаг 3. Вычисление дробной части $\{a — \omega\}$

Теперь, вычислим дробную часть $\{a — \omega\}$, используя определение:

$$\{a — \omega\} = (a — \omega) — [a — \omega].$$

Подставим $[a — \omega] = a — 1$:

$$\{a — \omega\} = (a — \omega) — (a — 1) = a — \omega — a + 1 = 1 — \omega.$$

Ответ:

$$\{a — \omega\} = 1 — \omega.$$

Что и требовалось доказать.