ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть функция у = f(x) возрастает на R. Решите:

а) уравнение f(3x + 2) = f(4x² + x);

б) неравенство f(3x + 2) < f(4x² + x);

в) уравнение f(3x — 48) = f(-x² + x);

г) неравенство f(3x — 48) < f(-x² + x).

Функция $y = f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$;

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;
$3x + 2 = 4x^2 + x$;
$4x^2 — 2x — 2 = 0$;
$2x^2 — x — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;
Ответ: $-0,5; 1$.

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$;
$3x + 2 < 4x^2 + x$;
$4x^2 — 2x — 2 > 0$;
$x^2 — x — 1 > 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;
$(x + 0,5)(x — 1) > 0$;
$x < -0,5$ и $x > 1$;
Ответ: $(-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$.

в) $f(3x — 48) = f(-x^2 + x)$;
$3x — 48 = -x^2 + x$;
$x^2 + 2x — 48 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$;
Ответ: $-8; 6$.

г) $f(3x — 48) \leq f(-x^2 + x)$;
$3x — 48 \leq -x^2 + x$;
$x^2 + 2x — 48 \leq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$;
$(x + 8)(x — 6) \leq 0$;
$-8 \leq x \leq 6$;
Ответ: $[-8; 6]$.

Функция $y = f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$; то есть $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. В каждой из частей задания нам нужно решить разные уравнения и неравенства, чтобы найти промежутки, на которых выполняются те или иные условия.

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

1. Начинаем с уравнения:

$$f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$$

Так как функция $f(x)$ возрастает на всей области $\mathbb{R}$, то уравнение $f(a) = f(b)$ имеет решение только в том случае, если $a = b$. В нашем случае:

$$3x + 2 = 4x^2 + x$$

2. Переносим все на одну сторону:

$$3x + 2 — 4x^2 — x = 0$$ $$-4x^2 + 2x + 2 = 0$$

Умножаем обе стороны на $-1$, чтобы избавиться от минуса при $x^2$:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0$$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0$$

Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 4$, $b = -2$, $c = -2$.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 — 6}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 + 6}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Ответ: $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 1$, промежуток: $(-0,5; 1)$.

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

1. Начинаем с неравенства:

$$f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$$

Поскольку функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$, то неравенство $f(a) < f(b)$ эквивалентно неравенству $a < b$. То есть:

$$3x + 2 < 4x^2 + x$$

2. Переносим все на одну сторону:

$$3x + 2 — 4x^2 — x < 0$$ $$-4x^2 + 2x + 2 < 0$$

Умножаем обе стороны на $-1$ (не забываем, что это меняет знак неравенства):

$$4x^2 — 2x — 2 > 0$$

3. Решаем неравенство $4x^2 — 2x — 2 > 0$:

Это неравенство эквивалентно решению квадратичного уравнения, которое мы решали в пункте (а). У нас уже есть дискриминант:

$$D = 36$$

Корни:

$$x_1 = -0,5, \quad x_2 = 1$$

Теперь разлагаем неравенство на множители:

$$(x + 0,5)(x — 1) > 0$$

4. Находим интервалы, где неравенство выполняется:

Неравенство выполняется, когда произведение двух скобок больше нуля, то есть, когда оба множителя имеют одинаковые знаки:

• $x < -0,5$ или $x > 1$.

Таким образом, решение неравенства:

$$(-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$.

в) $f(3x — 48) = f(-x^2 + x)$

1. Начинаем с уравнения:

$$f(3x — 48) = f(-x^2 + x)$$

Используем аналогичное рассуждение, как и в предыдущих случаях. Это уравнение означает, что $3x — 48 = -x^2 + x$.

2. Переносим все на одну сторону:

$$3x — 48 + x^2 — x = 0$$ $$x^2 + 2x — 48 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

Для уравнения $x^2 + 2x — 48 = 0$ вычисляем дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 — 14}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = 6$$

Ответ: $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$, промежуток: $(-8; 6)$.

г) $f(3x — 48) \leq f(-x^2 + x)$

1. Начинаем с неравенства:

$$f(3x — 48) \leq f(-x^2 + x)$$

Так как функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$, неравенство $f(a) \leq f(b)$ эквивалентно $a \leq b$. Таким образом, у нас получается:

$$3x — 48 \leq -x^2 + x$$

2. Переносим все на одну сторону:

$$3x — 48 + x^2 — x \leq 0$$ $$x^2 + 2x — 48 \leq 0$$

3. Решаем неравенство $x^2 + 2x — 48 \leq 0$:

Это неравенство соответствует квадратному уравнению, которое мы решали ранее:

$$D = 196$$

Корни:

$$x_1 = -8, \quad x_2 = 6$$

Разлагаем неравенство:

$$(x + 8)(x — 6) \leq 0$$

4. Находим интервалы, где неравенство выполняется:

Неравенство выполняется, когда произведение двух множителей меньше либо равно нулю:

• $-8 \leq x \leq 6$.

Ответ: $[-8; 6]$.

Итоговое решение:

а) $x \in (-0,5; 1)$.

б) $x \in (-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$.

в) $x \in (-8; 6)$.

г) $x \in [-8; 6]$.