ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть функция у = f(x) определена на интервале (-1; 1) и возрастает на нем. Решите:

а) уравнение f(3x + 2) = f(4x² + x);

б) неравенство f(3x + 2) < f(4x² + x).

Функция $y = f(x)$ определена на интервале $(-1; 1)$ и возрастает на нем;

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

Решим уравнение:

$$3x + 2 = 4x^2 + x;$$ $$4x^2 — 2x — 2 = 0;$$ $$2x^2 — x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Выполним проверку:

$$3x + 2 = 3 \cdot (-0,5) + 2 = -1,5 + 2 = 0,5;$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot (-0,5)^2 — 0,5 = 1 — 0,5 = 0,5;$$ $$3x + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5;$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot 1^2 + 1 = 5;$$

Ответ: $-0,5$.

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$;

Первое число находится в интервале при:

$$-1 < 3x + 2 \leq 1;$$ $$-3 < 3x < -1;$$ $$-1 < x < -\frac{1}{3};$$

Второе число находится в интервале при:

$$-1 < 4x^2 + x < 1;$$

Первый случай:

$$4x^2 + x + 1 > 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 4 = 1 — 16 = -15 < 0;$$ $$a = 4 > 1 \text{ — при любом значении } x;$$

Второй случай:

$$4x^2 + x — 1 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17, \text{ тогда: }$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8};$$ $$\left( x — \frac{-1 — \sqrt{17}}{8} \right) \left( x — \frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \right) < 0;$$ $$\frac{-1 — \sqrt{17}}{8} < x < \frac{-1 + \sqrt{17}}{8};$$

Решим неравенство:

$$3x + 2 < 4x^2 + x;$$ $$4x^2 — 2x — 2 > 0;$$ $$2x^2 — x — 1 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$(x + 0,5)(x — 1) > 0;$$ $$x < -0,5 \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Ответ: $\left( \frac{-1 — \sqrt{17}}{8}; -0,5 \right)$.

Функция $y = f(x)$ определена на интервале $(-1; 1)$ и возрастает на нем.

Необходимо решить:

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

Так как функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-1; 1)$, мы можем сделать следующие выводы:

1. Для уравнения $f(A) = f(B)$, где $A = 3x + 2$ и $B = 4x^2 + x$, $A$ должно быть равно $B$, т.е. $3x + 2 = 4x^2 + x$.
2. Для неравенства $f(A) < f(B)$, $A$ должно быть меньше $B$, т.е. $3x + 2 < 4x^2 + x$.

а): Решение уравнения $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$$

Так как функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-1; 1)$, для того чтобы уравнение выполнялось, аргументы должны быть равны:

$$3x + 2 = 4x^2 + x.$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение:

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$3x + 2 — 4x^2 — x = 0.$$

Упрощаем выражение:

$$-4x^2 + 2x + 2 = 0.$$

Умножаем обе части уравнения на $-1$ для упрощения:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения:

Для решения уравнения $4x^2 — 2x — 2 = 0$ используем формулу дискриминанта для квадратных уравнений:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Здесь $a = 4$, $b = -2$, $c = -2$. Подставляем значения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36.$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 — 6}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 + 6}{8} = \frac{8}{8} = 1.$$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$.

Шаг 4: Проверка корней:

Для $x = -0.5$:

$$3x + 2 = 3 \cdot (-0.5) + 2 = -1.5 + 2 = 0.5,$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot (-0.5)^2 + (-0.5) = 4 \cdot 0.25 — 0.5 = 1 — 0.5 = 0.5.$$

Значения равны, значит, $x = -0.5$ является решением.

Для $x = 1$:

$$3x + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5,$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot 1^2 + 1 = 4 + 1 = 5.$$

Значения равны, значит, $x = 1$ также является решением.

Ответ для части (а): $x = -0.5$.

б): Решение неравенства $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

Шаг 1: Неравенство

Для неравенства $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$ аргумент с левой стороны должен быть меньше, чем с правой. То есть:

$$3x + 2 < 4x^2 + x.$$

Шаг 2: Преобразуем неравенство:

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$3x + 2 — 4x^2 — x < 0,$$ $$-4x^2 + 2x + 2 < 0.$$

Умножим обе части неравенства на $-1$ (не забываем сменить знак неравенства):

$$4x^2 — 2x — 2 > 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства:

Теперь решаем неравенство $4x^2 — 2x — 2 > 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0.$$

Мы уже решали это уравнение, и его корни $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$.

Решение неравенства $4x^2 — 2x — 2 > 0$ означает, что $x$ должно быть вне интервала $(-0.5, 1)$, то есть:

$$x < -0.5 \quad \text{или} \quad x > 1.$$

Шаг 4: Учет области определения функции

Функция $f(x)$ определена на интервале $(-1; 1)$, поэтому мы ограничиваемся только этим интервалом.

В результате, решение неравенства на интервале $(-1; 1)$ — это:

$$-1 < x < -0.5.$$

Шаг 5: Проверка на соответствие условиям задачи

Проверим, что значение $3x + 2$ для $x$ в интервале $(-1; 1)$ действительно попадает в область определения функции:

$$-1 < 3x + 2 \leq 1.$$

Решаем это неравенство:

$$-1 < 3x + 2 \leq 1,$$ $$-3 < 3x < -1,$$ $$-1 < x < -\frac{1}{3}.$$

Таким образом, первое условие на $3x + 2$ выполняется для $x \in (-1, -\frac{1}{3})$.

Теперь проверим второе условие для $4x^2 + x$:

$$-1 < 4x^2 + x < 1.$$

Для этого решим два неравенства поочередно:

$4x^2 + x + 1 > 0$:

Для этого находим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 — 16 = -15 < 0.$$

Следовательно, выражение $4x^2 + x + 1$ всегда больше нуля для всех $x$, то есть для всех $x$ на интервале $(-1, 1)$.

$4x^2 + x — 1 < 0$:

Решаем уравнение $4x^2 + x — 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 + 16 = 17.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{17}}{8}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}.$$

Таким образом, неравенство выполняется для $x$ в интервале:

$$\frac{-1 — \sqrt{17}}{8} < x < \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}.$$

Ответ для части (б): $\left( \frac{-1 — \sqrt{17}}{8}; -0.5 \right)$.