ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [-1; 1] и убывает на нем. Решите:

а) уравнение f(3x + 2) = f(4x² + x);

б) неравенство f(3x + 2) < f(4x² + x).

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-1; 1]$ и убывает на нем;

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x);$

Решим уравнение:

$$3x + 2 = 4x^2 + x;$$ $$4x^2 — 2x — 2 = 0;$$ $$2x^2 — x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Выполним проверку:

$$3x + 2 = 3 \cdot (-0,5) + 2 = -1,5 + 2 = 0,5;$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot (-0,5)^2 — 0,5 = 1 — 0,5 = 0,5;$$ $$3x + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5;$$ $$4x^2 + x = 4 \cdot 1^2 + 1 = 5;$$

Ответ: $-0,5$.

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x);$

Первое число находится на отрезке при:

$$-1 \leq 3x + 2 \leq 1;$$ $$-3 \leq 3x \leq -1;$$ $$-1 \leq x \leq -\frac{1}{3};$$

Второе число находится на отрезке при:

$$-1 \leq 4x^2 + x \leq 1;$$

Первый случай:

$$4x^2 + x + 1 \geq 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 4 = 1 — 16 = -15 < 0;$$ $$a = 4 > 1 \quad \text{— при любом значении } x;$$

Второй случай:

$$4x^2 + x — 1 \leq 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17, \text{ тогда: }$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8};$$ $$\left( x — \frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \right) \left( x — \frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \right) \leq 0;$$ $$\frac{-1 — \sqrt{17}}{8} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{8};$$

Решим неравенство:

$$3x + 2 > 4x^2 + x;$$ $$4x^2 — 2x — 2 < 0;$$ $$2x^2 — x — 1 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$(x + 0,5)(x — 1) < 0;$$ $$-0,5 < x < 1;$$

Ответ: $\left( -0,5; -\frac{1}{3} \right]$.

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-1; 1]$ и убывает на этом отрезке.

а) $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$

Нужно решить уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$. Так как функция $f(x)$ убывает на отрезке $[-1; 1]$, то из равенства значений функции на разных аргументах следует, что сами аргументы должны быть равны, если они принадлежат области определения функции.

Шаг 1: Решаем уравнение

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит так:

$$3x + 2 = 4x^2 + x$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$3x + 2 — 4x^2 — x = 0$$

Приводим подобные члены:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0$$

Теперь поделим обе стороны на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$$2x^2 — x — 1 = 0$$

Это стандартное квадратное уравнение. Для его решения используем дискриминант.

Шаг 2: Находим дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 3: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Итак, мы получили два корня уравнения: $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 1$.

Шаг 4: Проверка решения

Теперь необходимо проверить, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Подставляем $x = -0,5$:

Для левой части:

$$3x + 2 = 3 \cdot (-0,5) + 2 = -1,5 + 2 = 0,5$$

Для правой части:

$$4x^2 + x = 4 \cdot (-0,5)^2 — 0,5 = 4 \cdot 0,25 — 0,5 = 1 — 0,5 = 0,5$$

Левая и правая части равны, значит, $x = -0,5$ является решением.

Подставляем $x = 1$:

Для левой части:

$$3x + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$

Для правой части:

$$4x^2 + x = 4 \cdot 1^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

Левая и правая части также равны, значит, $x = 1$ тоже является решением.

Ответ: $x = -0,5$.

б) $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$

Теперь решим неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$. Так как функция $f(x)$ убывает на отрезке $[-1; 1]$, то неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$ эквивалентно:

$$3x + 2 > 4x^2 + x$$

Решаем это неравенство.

Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону

$$3x + 2 — 4x^2 — x > 0$$

Приводим подобные члены:

$$-4x^2 + 2x + 2 > 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$ (при этом неравенство изменит знак):

$$4x^2 — 2x — 2 < 0$$

Шаг 2: Находим дискриминант

Для решения неравенства используем дискриминант. Сначала преобразуем неравенство в квадратное уравнение:

$$4x^2 — 2x — 2 = 0$$

В данном уравнении $a = 4$, $b = -2$, $c = -2$. Вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36$$

Шаг 3: Находим корни

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 — 6}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 + 6}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 1$.

Шаг 4: Исследуем знак выражения

Теперь исследуем знак выражения $4x^2 — 2x — 2$. Мы знаем, что это парабола, направленная вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).

Парабола пересекает ось $x$ в точках $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 1$. Мы хотим найти, на каком промежутке выражение $4x^2 — 2x — 2$ отрицательно. Это происходит между корнями, то есть для $-0,5 < x < 1$.

Ответ: $\left( -0,5; -\frac{1}{3} \right]$.

Итоговое решение:

Ответ для пункта (а): $x = -0,5$.

Ответ для пункта (б): $\left( -0,5; -\frac{1}{3} \right]$.