ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области их определения.

б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве M, то она ограничена на этом множестве.

Доказать, что если функция имеет наибольшее и наименьшее значения на множестве $M$, то она ограничена на этом множестве;

Пусть $y = f(x)$ — данная функция, которая имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве $M$:

$$f(x_1) = m — \text{наименьшее};$$ $$f(x_2) = N — \text{наибольшее};$$

Для любого числа $x \in M$ выполняется неравенство:

$$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2);$$ $$m \leq f(x) \leq N;$$

Таким образом, функция $y = f(x)$ ограничена сверху и снизу на множестве $M$, что и требовалось доказать.

Доказать, что если функция имеет наибольшее и наименьшее значения на множестве $M$, то она ограничена на этом множестве.

Решение:

Пусть дана функция $y = f(x)$, определённая на множестве $M$, и на этом множестве функция достигает наибольшего и наименьшего значения. Это означает, что существует точка $x_1 \in M$, в которой функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, и точка $x_2 \in M$, в которой функция $f(x)$ принимает наибольшее значение. Формально это можно записать как:

Наименьшее значение функции: существует такая точка $x_1 \in M$, что

$$f(x_1) = m,$$

где $m$ — наименьшее значение функции на множестве $M$. Это означает, что для любого $x \in M$ выполняется неравенство

$$f(x) \geq m.$$

Наибольшее значение функции: существует такая точка $x_2 \in M$, что

$$f(x_2) = N,$$

где $N$ — наибольшее значение функции на множестве $M$. Это означает, что для любого $x \in M$ выполняется неравенство

$$f(x) \leq N.$$

Теперь, с учётом того, что функция $f(x)$ на множестве $M$ достигает как наибольшего, так и наименьшего значения, наша задача — доказать, что функция $f(x)$ ограничена как сверху, так и снизу на этом множестве.

Шаг 1: Формулировка ограниченности функции

Нам нужно показать, что для всех $x \in M$ выполняется неравенство:

$$m \leq f(x) \leq N.$$

То есть, мы должны доказать, что для любого $x \in M$ значение функции $f(x)$ не выходит за пределы интервала от $m$ до $N$.

Шаг 2: Доказательство неравенства

Поскольку $f(x_1) = m$ — это наименьшее значение функции, то для любого $x \in M$ выполняется неравенство:

$$f(x_1) \leq f(x),$$

так как $f(x)$ не может быть меньше, чем наименьшее значение функции. Подставляем значение $f(x_1) = m$:

$$m \leq f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in M.$$

Поскольку $f(x_2) = N$ — это наибольшее значение функции, то для любого $x \in M$ выполняется неравенство:

$$f(x) \leq f(x_2),$$

так как $f(x)$ не может быть больше, чем наибольшее значение функции. Подставляем значение $f(x_2) = N$:

$$f(x) \leq N \quad \text{для всех} \quad x \in M.$$

Шаг 3: Заключение

Таким образом, для любого $x \in M$ мы получаем неравенство:

$$m \leq f(x) \leq N.$$

Это означает, что функция $f(x)$ ограничена как сверху (значением $N$), так и снизу (значением $m$) на множестве $M$.

Итог: Мы доказали, что если функция $f(x)$ имеет наибольшее и наименьшее значения на множестве $M$, то она ограничена на этом множестве, что и требовалось доказать.