ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка [а, b], ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке [а, b].

б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на R, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на R.

а) Пример функции, определенной во всех точках отрезка $[a;b]$, ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке $[a;b]$:

$$y=\{\begin{array}{ll}x+1,& \text{если }1\le x<4\\ 7-x,& \text{если }4\le x<6;\\ x-4,& \text{если }6\le x\le 7\end{array}$$

Область определения функции:

$$D(y)=[1;7];$$

Множество значений функции:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 1\le x<4\Rightarrow 2\le y<5;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 4\le x<6\Rightarrow 1\le y\le 3;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 6\le x\le 7\Rightarrow 2\le y\le 3;}\end{array}$$$$E(y)=(1;5)$$

б) Пример функции, определенной и ограниченной на множестве $\mathbb{R}$, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на $\mathbb{R}$:

$$y=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{x+1},& \text{если }x\ge 1\\ x,& \text{если }-1<x<1;\\ \frac{x}{1-x},& \text{если }x\le -1\end{array}$$

Область определения функции:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty });$$

Множество значений функции:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle y=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\Rightarrow y_0=1,y(1)=0.5;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle y=\frac{x}{1-x}=\frac{x-1+1}{x-1}=-1-\frac{1}{x-1}\Rightarrow y_0=-1,y(-1)=-0.5;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -1<x<1;}\end{array}$$$$E(f)=(-1;1)$$

а)

Для функции:

$$y=\{\begin{array}{ll}x+1,& \text{если }1\le x<4,\\ 7-x,& \text{если }4\le x<6,\\ x-4,& \text{если }6\le x\le 7,\end{array}$$

Область определения функции:

• Функция определена на отрезке $[1;7]$, так как для каждого значения $x$ из этого отрезка имеется определенная формула.

$$D(y)=[1;7]$$

Множество значений функции:

• Разберем каждый участок функции:
  • Для $1\le x<4$, функция $y=x+1$.
    При $x=1$, $y=2$. При $x\to 4^{-}$, $y\to 5$. То есть, на этом промежутке функция принимает значения от 2 до 5 (не включая 5).
  • Для $4\le x<6$, функция $y=7-x$.
    При $x=4$, $y=3$. При $x\to 6^{-}$, $y\to 1$. То есть, на этом промежутке функция принимает значения от 3 до 1 (не включая 1).
  • Для $6\le x\le 7$, функция $y=x-4$.
    При $x=6$, $y=2$. При $x=7$, $y=3$. То есть, на этом промежутке функция принимает значения от 2 до 3 (включая 2 и 3).

Теперь объединим все промежутки значений:

• На первом отрезке $[1;4)$ функция принимает значения $(2;5)$.
• На втором отрезке $[4;6)$ функция принимает значения $(1;3)$.
• На третьем отрезке $[6;7]$ функция принимает значения $[2;3]$.

Таким образом, все значения функции принадлежат интервалу $(1;5)$. В этом интервале отсутствуют как наибольшее, так и наименьшее значение, потому что:

• Нет точки, где функция принимает наибольшее значение (так как 5 не включается в область значений).
• Нет точки, где функция принимает наименьшее значение (так как 1 не включается в область значений).

Множество значений функции:

$$E(y)=(1;5)$$

б)

Для функции:

$$y=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{x+1},& \text{если }x\ge 1,\\ x,& \text{если }-1<x<1,\\ \frac{x}{1-x},& \text{если }x\le -1.\end{array}$$

Область определения функции:

• Функция определена для всех $x$, так как для каждого значения из области $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ существует соответствующая формула.

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Множество значений функции:

• Разберем каждый участок функции:
  • Для $x\ge 1$, функция $y=\frac{x}{x+1}$.
    Преобразуем выражение: 

    $$y=1-\frac{1}{x+1}$$

    Когда $x\to 1^{+}$, $y\to 0.5$. Когда $x\to \mathrm{\infty }$, $y\to 1$. Функция стремится к 1, но не достигает этого значения.

  • Для $-1<x<1$, функция $y=x$. Это линейная функция, которая принимает все значения от $-1$ до 1 (не включая $-1$ и $1$).
  • Для $x\le -1$, функция $y=\frac{x}{1-x}$.
    Преобразуем выражение: 

    $$y=-1-\frac{1}{x-1}$$

    Когда $x\to -1^{-}$, $y\to -0.5$. Когда $x\to -\mathrm{\infty }$, $y\to -1$. Функция стремится к $-1$, но не достигает этого значения.

Таким образом, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, потому что она стремится к 1 и $-1$, но никогда не достигает этих значений.

Множество значений функции:

$$E(f)=(-1;1)$$