ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции:

а) у = |x| + |х — 2|;

б) у = |x — 1| + |x — 3| + |х — 5|;

в) у = |x| + |х — 2| + |х — 4|;

г) у = |x| + |x — 1| +)… + |х — n|, n € N.

Найти наименьшее значение функции:

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$:

Выражения под знаком модуля:

• $x\ge 0$;
• $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$;

Если $x\ge 2$, тогда:

$$y=x+(x-2)=2x-2;$$

$k=2>0$ — функция возрастает;

Если $0\le x<2$, тогда:

$$y=x-(x-2)=2;$$

Если $x<0$, тогда:

$$y=-x-(x-2)=-2x+2;$$

$k=-2<0$ — функция убывает;

Ответ: $y_{\text{наим}}=2$.

б) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }$:

Выражения под знаком модуля:

• $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$;
• $x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3$;
• $x-5\ge 0\Rightarrow x\ge 5$;

Если $x\ge 5$, тогда:

$$y=(x-1)+(x-3)+(x-5)=3x-9;$$

$k=3>0$ — функция возрастает;

Если $3\le x<5$, тогда:

$$y=(x-1)+(x-3)-(x-5)=x+1;$$

$k=1>0$ — функция возрастает;

Если $1\le x<3$, тогда:

$$y=(x-1)-(x-3)-(x-5)=-x+7;$$

$k=-1<0$ — функция убывает;

Если $x<1$, тогда:

$$y=-(x-1)-(x-3)-(x-5)=-3x+9;$$

$k=-3<0$ — функция убывает;

Наименьшее значение функции:

$$y_{\text{наим}}=y(3)=3+1=4;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=4$.

в) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$:

Выражения под знаком модуля:

• $x\ge 0$;
• $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$;
• $x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4$;

Если $x\ge 4$, тогда:

$$y=x+(x-2)+(x-4)=3x-6;$$

$k=3>0$ — функция возрастает;

Если $2\le x<4$, тогда:

$$y=x+(x-2)-(x-4)=x+2;$$

$k=1>0$ — функция возрастает;

Если $0\le x<2$, тогда:

$$y=x-(x-2)-(x-4)=-x+6;$$

$k=-1<0$ — функция убывает;

Если $x<0$, тогда:

$$y=-x-(x-2)-(x-4)=-3x+6;$$

$k=-3<0$ — функция убывает;

Наименьшее значение функции:

$$y_{\text{наим}}=y(2)=2+2=4;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=4$.

г) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\cdots +\mathrm{\mid }x-n\mathrm{\mid }$, где $n\in \mathbb{N}$:

$x=\frac{n}{2}$ — точка минимума;

$y_{\text{наим}}=\mid \frac{n}{2}\mid +\mid \frac{n}{2}-1\mid +\cdots +\mid \frac{n}{2}-n\mid$;

Если $n$ — четное число:

$$y=\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}-1)+\cdots +(\frac{n}{2}-(\frac{n}{2}-1))-(\frac{n}{2}-(\frac{n}{2}+1))-\cdots -(\frac{n}{2}-n);$$$$y=\frac{n}{2}\cdot \frac{n}{2}-(1+2+\cdots +(\frac{n}{2}-1))-\frac{n}{2}\cdot \frac{n}{2}+((\frac{n}{2}+1)+(\frac{n}{2}+2)+\cdots +n);$$$$y=-\frac{1+(\frac{n}{2}-1)}{2}\cdot (\frac{n}{2}-1)+\frac{(\frac{n}{2}+1)+n}{2}\cdot \frac{n}{2};$$$$y=-\frac{n^2-2n}{8}+\frac{3n^2+2n}{8}=\frac{n^2+2n}{4}=\frac{n(n+2)}{4};$$

Если $n$ — нечетное число:

$$y=\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}-1)+\cdots +(\frac{n}{2}-\left(\frac{n-1}{2}\right))-(\frac{n}{2}-\left(\frac{n+1}{2}\right))-\cdots -(\frac{n}{2}-n);$$

$$y=\frac{n}{2}\cdot \frac{n+1}{2}-(1+2+\cdots +\frac{n-1}{2})-\frac{n}{2}\cdot \frac{n+1}{2}+$$

$$+(\left(\frac{n+1}{2}\right)+(\frac{n+1}{2}+1)+\cdots +n);$$

$$y=-\frac{1+\frac{n-1}{2}}{2}\cdot \frac{n-1}{2}+\frac{\frac{n+1}{2}+n}{2}\cdot \frac{n+1}{2};$$

$$y=-\frac{(n+1)(n-1)}{8}+\frac{(n+1{)}^2}{8}=\frac{n^2+2n+1}{8}=\frac{(n+1{)}^2}{4};$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}}=\frac{n(n+2)}{4},\text{ если }n\text{ — четное число; }$$$$y_{\text{наим}}=\frac{(n+1{)}^2}{4},\text{ если }n\text{ — нечетное число. }$$

а) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$

1) Выражения под знаком модуля:

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ изменяет форму в зависимости от $x$:
  • Если $x\ge 0$, то $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$.
  • Если $x<0$, то $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$.
• $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ изменяет форму в зависимости от $x$:
  • Если $x\ge 2$, то $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=x-2$.
  • Если $x<2$, то $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=2-x$.

2) Разбираем все случаи:

• Когда $x\ge 2$:$$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=x+(x-2)=2x-2$$

  Это линейная функция с угловым коэффициентом $2$, то есть функция возрастает.

• Когда $0\le x<2$:$$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=x+(2-x)=2$$

  Здесь функция имеет постоянное значение, равное 2.

• Когда $x<0$:$$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=-x+(2-x)=-2x+2$$

  Это линейная функция с угловым коэффициентом $-2$, то есть функция убывает.

3) Наименьшее значение функции:

• Функция $y=2x-2$ возрастает при $x\ge 2$, а при $0\le x<2$ функция равна 2. Минимум наблюдается на границе этих двух областей при $x=0$, где $y=2$.

Ответ: $y_{\text{наим}}=2$.

б) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }$

1) Выражения под знаком модуля:

• $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$ меняет форму в зависимости от $x$:
  • Если $x\ge 1$, то $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=x-1$.
  • Если $x<1$, то $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$.
• $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }$ меняет форму в зависимости от $x$:
  • Если $x\ge 3$, то $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=x-3$.
  • Если $x<3$, то $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=3-x$.
• $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }$ меняет форму в зависимости от $x$:
  • Если $x\ge 5$, то $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }=x-5$.
  • Если $x<5$, то $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }=5-x$.

2) Разбираем все случаи:

• Когда $x\ge 5$:$$y=(x-1)+(x-3)+(x-5)=3x-9$$

  Функция возрастает с угловым коэффициентом $3$.

• Когда $3\le x<5$:$$y=(x-1)+(x-3)-(x-5)=x+1$$

  Функция возрастает с угловым коэффициентом $1$.

• Когда $1\le x<3$:$$y=(x-1)-(x-3)-(x-5)=-x+7$$

  Функция убывает с угловым коэффициентом $-1$.

• Когда $x<1$:$$y=-(x-1)-(x-3)-(x-5)=-3x+9$$

  Функция убывает с угловым коэффициентом $-3$.

3) Наименьшее значение функции:

• Наименьшее значение функции будет на границе областей. Оно достигается при $x=3$, где:$$y=3+1=4$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=4$.

в) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$

1) Выражения под знаком модуля:

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$, и $\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$ меняют свою форму, как и в предыдущем примере, в зависимости от значений $x$.

2) Разбираем все случаи:

• Когда $x\ge 4$:$$y=x+(x-2)+(x-4)=3x-6$$

  Функция возрастает с угловым коэффициентом $3$.

• Когда $2\le x<4$:$$y=x+(x-2)-(x-4)=x+2$$

  Функция возрастает с угловым коэффициентом $1$.

• Когда $0\le x<2$:$$y=x-(x-2)-(x-4)=-x+6$$

  Функция убывает с угловым коэффициентом $-1$.

• Когда $x<0$:$$y=-x-(x-2)-(x-4)=-3x+6$$

  Функция убывает с угловым коэффициентом $-3$.

3) Наименьшее значение функции:

• Минимум функции происходит на границе областей. При $x=2$ функция принимает значение:$$y=2+2=4$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=4$.

г) $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\cdots +\mathrm{\mid }x-n\mathrm{\mid }$, где $n\in \mathbb{N}$

1) Если $n$ четное:

Минимум функции будет достигаться в точке $x=\frac{n}{2}$, так как для четного числа $n$ эта точка является центральной для всех выражений, и сумма модулей будет минимальной именно в этой точке.

2) Если $n$ нечетное:

Точно так же минимум будет достигаться в точке $x=\frac{n+1}{2}$, так как эта точка симметрична относительно всех чисел от 1 до $n$.

3) Наименьшее значение функции:

• Для четного $n$:$$y_{\text{наим}}=\frac{n(n+2)}{4}$$
• Для нечетного $n$:$$y_{\text{наим}}=\frac{(n+1{)}^2}{4}$$

Ответ:

• $y_{\text{наим}}=\frac{n(n+2)}{4}$, если $n$ четное.
• $y_{\text{наим}}=\frac{(n+1{)}^2}{4}$, если $n$ нечетное.